Función cóncava

En matemática, una función es cóncava cuando dados dos puntos cualesquiera en el dominio de la función, el segmento que los une queda por debajo de la curva.

Una función cóncava es lo opuesto de una función convexa.

Formalmente, una función real

definida en un intervalo (o en cualquier conjunto convexo

de algún espacio vectorial) se dice que es cóncava, si para dos puntos

cualesquiera definidas en su dominio

, se cumple: Además,

Una función es estrictamente cóncava si Una función continua en

es cóncava si y solo si para cualquier x e y en C. Una función diferenciable f es cóncava en un intervalo si su derivada f ′ es monótonamente decreciente en ese intervalo: una función cóncava posee una pendiente negativa o decreciente (entendiendo por "decreciente" aquí a que es "no-creciente", en lugar de "estrictamente decreciente"; es decir, se permite la pendiente cero).

doblemente diferenciable, si su segunda derivada

Los puntos donde la concavidad cambia son puntos de inflexión.

Si una función convexa (es decir, cóncava hacia arriba) tiene un "fondo" ("bottom"), cualquier punto al fondo es un mínimo extremo.

Si una función cóncava (es decir, cóncava hacia abajo) tiene un "ápice" ("apex"), cualquier punto al ápice es un máximo extremo.

es cóncavo si y solo si

es negativo o cero.

Si su segunda derivada es negativa entonces es estrictamente cóncava, pero lo opuesto no es cierto, como podemos ver para

Una función es cuasicóncava si y solo si posee un

es no decreciente y para todo

, haciendo la función no decreciente (no creciente) para todo

Además, una función f es cuasiconvexa si y solo si −f es cuasicóncava.