Espacio vectorial normado
En matemática, un espacio normado o espacio vectorial normado es un espacio vectorial en el que se ha definido explícitamente una norma vectorial.
Podemos señalar los siguientes hechos que ayudan a comprender la importancia del concepto de espacio normado: Nótese que sobre un espacio vectorial se pueden definir diferentes normas, lo cual da lugar a diferentes espacios normados que tienen el mismo espacio vectorial como base de la construcción.
si verifica: Generalmente se denotará a
(no negatividad) se deriva del resto, por lo que se podría eliminar.
En todo espacio vectorial normado se puede definir la distancia
Se cumplen los siguientes resultados (que generalmente no son ciertos para espacios de dimensión infinita): En análisis funcional, teoría de ecuaciones diferenciales e incluso en mecánica cuántica intervienen espacios normados de dimensión infinita, en especial espacios de Banach y espacios de Hilbert.
Ambos tipos de espacios son métricamente completos, siendo todo espacio de Hilbert trivialmente también un espacio de Banach (al revés solo es cierto si la norma del espacio de Banach satisface la ley del paralelogramo).
Los espacios de Banach son ampliamente usados para discutir ecuaciones de evolución que involucran ecuaciones diferenciales ordinarias (en concreto un problema bien definido está definido sobre un espacio de Banach).
