Acotado
En matemática, el concepto de acotado se refiere a una situación en la que para cierto objeto matemático o un objeto construido a partir del mismo puede establecerse una relación de orden con otro tipo de entidad llamada cota superior o inferior.
Los detalles varían según el contexto, por lo que se remite al cuerpo de este artículo para una definición precisa en cada caso.
[1] Por el contrario, un conjunto que no está acotado se llama ilimitado.
La palabra acotado no tiene sentido en un espacio topológico general sin la métrica correspondiente.
Por ejemplo, un subconjunto S de un espacio real bidimensional R2 restringido por dos curvas parabólicas x2 + 1 y x2 - 1 definidas en un sistema de coordenadas cartesianas está cerrado por las curvas, pero no es acotado (y por lo tanto, es ilimitado).
Un conjunto S de números reales se denomina superiormente acotado si existe algún número real k (no necesariamente en S) tal que k ≥ s para todos los s en S. El número k se denomina cota superior de S. Los términos inferiormente acotado y cota inferior se definen de manera similar.
Un conjunto S está acotado si tiene cotas superior e inferior.
Un subconjunto S de un espacio métrico (M, d) está acotado si existe r > 0 tal que para todos los s y t en S, se tiene que d(s, t) < r. El espacio métrico (M, d) es un espacio métrico acotado (o d es una métrica acotada) si M está acotado como un subconjunto de sí mismo.
Si la topología del espacio vectorial topológico es inducida por una métrica que es homogénea, como en el caso de una métrica inducida por la norma de un espacio vectorial normado, entonces las dos definiciones coinciden.
Esta definición es extensible a subconjuntos de cualquier conjunto parcialmente ordenado.
Un subconjunto S de un conjunto parcialmente ordenado P se denomina acotado si tiene un límite superior y otro inferior, o de manera equivalente, si está contenido en un intervalo.
Téngase en cuenta que esto no es solo una propiedad del conjunto S, sino también del conjunto S como subconjunto de P. Un conjunto parcialmente ordenado acotado P (es decir, por sí mismo, no como subconjunto) es aquel que tiene un elemento mínimo y un elemento máximo.
[3] Un subconjunto S de Rn está acotado con respecto a la distancia euclídea si y solo si está acotado como subconjunto de Rn con el orden del producto.
Sin embargo, S puede estar acotado como subconjunto de Rn con el orden lexicográfico, pero no con respecto a la distancia euclídea.
Se dice que una clase de números ordinales es ilimitada, o cofinal, cuando dado cualquier ordinal, siempre hay algún elemento de la clase mayor que él.
La no relación se representa: que se lee: para los elementos x e y de A, x no precede a y.
Cumple las propiedades: reflexiva, antisimétrica y transitiva, es por lo tanto es un conjunto parcialmente ordenado.
En la figura de la derecha podemos ver un ejemplo en si representación sagital, la flecha o sagita se representa de un elemento al siguiente, la propiedad reflexiva y transitiva se dan por supuesto.
Dado un conjunto A, entre cuyos elementos, se ha definido una relación binaria que define un orden parcial, definido en las siguientes figuras, se pueden ver los distintos casos para determinar los maximales, minimales, máximos y mínimos de cada caso, en caso de existir: Dado un conjunto A y una relación binaria
Se cumple que: todos los elementos de un conjunto con orden total son comparables.
Dado el conjunto N de los números naturales y una relación binaria menor o igual:
Se cumple que: para todo: a, b número natural: a es menor o igual que b o b es menor o igual que a, todos los números naturales son comparables.
Dado el conjunto Z de los números enteros y una relación binaria menor o igual:
Se cumple que: para todo: a, b número entero: a es menor o igual que b o b es menor o igual que a, todos los números enteros son comparables.
Siendo B un subconjunto de A: se puede determinar si B está acotado según los siguientes conceptos:[5] Dado un conjunto A: en el que se ha definido una relación binaria
: en el que se ha definido, entre los elementos del conjunto, una relación binaria:
Por esta misma razón si una función solo existe en un intervalo numérico concreto se le llama "función acotada" ya que su resultado está limitado (acotado) a unos valores numéricos concretos que son finitos .
En un croquis, se llama segmento acotado aquel que está limitado por ambos extremos con sus dimensiones indicadas.
En matemáticas el término no acotado se refiere a alguna entidad matemática infinita o para la cual no es posible establecer una cota máxima para alguna de sus propiedades o medidas.
Dentro de un espacio métrico (E, d) un conjunto no acotado es un conjunto infinito tal que tiene puntos situados a distancia infinita, es decir, no existe ningún valor
