Conjunto abierto
[2] Se puede generalizar el concepto de ‘bola’ como los elementos que están muy cerca de otro en cualquier dirección, rodeándolo, pero para ello es necesario definir una función distancia que permita evaluar la lejanía o cercanía entre los objetos del conjunto, constituyendo así un espacio métrico —un conjunto más una definición de distancia en él—.
[3] Como ejemplo típico se puede evaluar el intervalo abierto (0, 1) en los números reales (
Pues bien, intuitivamente se dice que es un conjunto abierto porque, para cualquier número x que pertenezca al conjunto, por mucho que pretendamos acercarnos a la frontera del conjunto —0 y 1—, siempre hay más elementos entre dicho número x y la frontera.
Sin embargo, en el conjunto cerrado [0, 1] entre el elemento 1 y la frontera del intervalo —que también es 1— no existen más elementos, por lo que se deduce que es en conjunto ‘cerrado’.
O valorando la explicación más rigurosa, el espacio métrico en el caso del intervalo (0, 1), denotado como (
, d), es el constituido por: De esta manera en todo número x del conjunto (0, 1) puede centrarse una bola que está incluida dentro del conjunto; puesto que en la recta real una bola abierta centrada en un número x se corresponde con otro intervalo de la forma (x - ε, x + ε), donde epsilon es una cantidad muy pequeña, todo lo que se quiera.
Estas condiciones son muy laxas y permiten una enorme flexibilidad en la elección de los conjuntos abiertos.
Por ejemplo, cada subconjunto puede ser abierto (la topología discreta), o ningún subconjunto puede ser abierto excepto el propio espacio y el conjunto vacío (la topología indiscreta).
El caso más común de una topología sin distancia viene dado por los manifolds, que son espacios topológicos que, cerca de cada punto, se asemejan a un conjunto abierto de un espacio euclídeo, pero sobre los que no se define ninguna distancia en general.
Intuitivamente, un conjunto abierto proporciona un método para distinguir dos puntos.
En el conjunto de todos los números realess, se tiene la métrica euclídea natural; es decir, una función que mide la distancia entre dos números reales: d(x, y) = |x - y|.
En esencia, los puntos dentro de ε de x se aproximan a x con una precisión de grado ε. Nótese que ε > 0 siempre, pero a medida que ε se hace más y más pequeño, se obtienen puntos que se aproximan a x con un grado de precisión cada vez mayor.
Claramente, estos puntos se aproximan a x con un mayor grado de precisión que cuando ε = 1.
La discusión anterior muestra, para el caso x = 0, que se puede aproximar x a grados de precisión cada vez mayores definiendo ε cada vez más pequeño.
En particular, los conjuntos de la forma (-ε, ε) nos dan mucha información sobre los puntos cercanos a x = 0.
Esta idea innovadora tiene consecuencias de gran alcance; en particular, al definir diferentes colecciones de conjuntos que contienen 0 (distintos de los conjuntos (-ε, ε)), se pueden encontrar diferentes resultados sobre la distancia entre 0 y otros números reales.
Por supuesto, esta colección tendría que satisfacer ciertas propiedades (conocidas como axiomas), ya que de otro modo no podríamos disponer de un método bien definido para medir la distancia.
Una vez que empezamos a definir conjuntos "más pequeños" que contienen x, tendemos a aproximar x con un mayor grado de precisión.
Teniendo esto en cuenta, se pueden definir los axiomas restantes que la familia de conjuntos sobre x debe satisfacer.
se llama abierto cuando todos los puntos P de U son interiores.
Un subconjunto U de un espacio euclídeo n-dimensional En se llama abierto si, dado cualquier punto x en U, existe un número real ε > 0 tal que, dado cualquier punto y en En cuya distancia euclidiana de x sea más pequeña que ε, y también pertenece a U.
, podemos fijar el ε a la mitad de esta distancia, que significa que el ε es también mayor de cero, y todos los puntos que están a una distancia ε de p estén también en el conjunto, satisfaciendo así las condiciones para un conjunto abierto.
Un subconjunto U de un espacio métrico (M, d) se llama abierto si, dado cualquier punto x en U, existe un número real ε > 0 tales que, dado cualquier punto y en M con d(x, y) < ε, y también pertenece a U.
En espacios topológicos, el concepto de apertura se toma como fundamental.
Tal familia T de subconjuntos se llama una topología en X, y se llama a los miembros de la familia los conjuntos abiertos del espacio topológico (X, T).Un conjunto se llama cerrado si su complemento en X es abierto.
Estos dos conjuntos son los ejemplos más conocidos de subconjuntos cerrados y demuestran que existen subconjuntos cerrados en todos los espacios topológicos.
dotada de su habitual topología euclídea, cuyos conjuntos abiertos se definen como sigue: todo intervalo
Puede ser construido tomando la unión de todos los conjuntos abiertos contenidos en A.
Un conjunto abierto en la recta real, según la topología usual, se caracteriza por la propiedad de ser una unión contable de intervalos abiertos disjuntos.
Esta noción se diferencia algo de la apertura discutida más arriba.
