Conjunto conexo

es la colección de conjuntos abiertos del espacio topológico) que no puede ser expresado como unión disjunta de dos conjuntos abiertos no vacíos de la topología.

Intuitivamente, un conjunto conexo es el que aparece como una sola pieza, que no se puede 'dividir' o 'partir'.

En el caso de que un conjunto no sea conexo, se dice que es disconexo.

y cumple lo anterior, entonces se dice que

Se va a definir la conexividad en forma negativa: Un conjunto S se llama conexo, si no existe una partición del mismo en dos conjuntos no vacíos y disjuntos S 1 y S 2, ninguno de los cuales contiene puntos de acumulación del otro.

es un subconjunto conexo de la recta real.

Esta propiedad nos da una caracterización muy útil de los conjuntos conexos:

es un conjunto conexo si y solamente si para toda función

se le dota de la topología discreta.

Otra propiedad interesante de los conjuntos conexos es la siguiente: Si

es una familia de espacios topólogicos conexos (con

no es conexo, es decir, si existen abiertos

disjuntos no vacíos tales que su unión es

, es fácil ver que cada abierto será el complemento del otro, luego serán complementos de un abierto, y por ende, serán cerrados.

Por esto, otra manera de caracterizar la conexidad es decir:

será conexo si y sólo si los únicos clopen son

y el vacío (donde ambos conjuntos son siempre clopen).

existe una función continua llamada arco

Un contraejemplo muy típico es el llamado peine del topólogo,

Ser conexo por arcos no es una propiedad hereditaria (esto es, si un conjunto es conexo por arcos, cualquier subconjunto de este no es necesariamente conexo por arcos).

es un componente conexo si se cumplen estas dos condiciones: Se cumple que las componentes conexas de

De manera similar se define componente arco conexa.

Un espacio topológico se dice totalmente desconectado, si sus únicas componentes conexas son los conjuntos unitarios.

Asimismo hay espacios totalmente desconectados que no son numerables, por ejemplo

) o el conjunto ternario de Cantor

, se dice que es localmente conexo si para todo punto de

existe una base de entornos conexos.

Similarmente, se dice que es localmente arco conexo si todo punto de

tiene una base de entornos arco conexos.

Además, en un espacio localmente arco conexo las componentes conexas siempre son abiertas -en un espacio general son cerradas- y coinciden con las arco componentes.