Topología de Zariski
[1] Esta topología fue introducida principalmente por Oscar Zariski y luego generalizada para hacer del conjunto de ideales primos de un anillo conmutativo (denominado espectro del anillo) un espacio topológico.
Otra idea básica de la teoría de esquemas de Alexander Grothendieck es considerar como puntos no solo los puntos habituales correspondientes a los ideales máximos, sino también todas las variedades algebraicas (irreducibles), que corresponden a ideales primos.
En geometría algebraica clásica (es decir, la parte de la geometría algebraica en la que no se utilizan esquemas, que fueron introducidas por Alexander Grothendieck alrededor de 1960), la topología de Zariski se define en variedades algebraicas.
Se supone que se está trabajando sobre un cuerpo algebraicamente cerrado k fijo (en geometría algebraica clásica, k suele ser el campo de los números complejos).
anterior, define la topología de Zariski en cualquier variedad afín.
Debe recordarse que el espacio proyectivo de n dimensiones
al identificar dos puntos que difieren en un múltiplo escalar en k. Los elementos del anillo polinomial
porque cualquier punto tiene muchos representantes que producen diferentes valores en un polinomio.
Por lo tanto, si S es cualquier conjunto de polinomios homogéneos se puede hablar razonablemente de que Los mismos hechos pueden establecerse para estos conjuntos, excepto que la palabra ideal debe ser reemplazada por la frase "ideal homogéneo", de modo que V(S), para conjuntos S de polinomios homogéneos, defina una topología en
La topología proyectiva de Zariski se define para conjuntos algebraicos proyectivos tal como se define la afín para conjuntos algebraicos afines, tomando la topología del subespacio.
En la antigua literatura topológica, se consideraba que compacto incluía la propiedad de Hausdorff, y esta convención todavía se respeta en geometría algebraica; por lo tanto, la compacidad en el sentido moderno se llama cuasicompacidad en geometría algebraica.
Sin embargo, dado que cada punto (a1, ..., an) es el conjunto cero de los polinomios x1 - a1, ..., xn - an, los puntos están cerrados por lo que cada variedad satisface el axioma T1.
En la geometría algebraica moderna, una variedad algebraica suele estar representada por su esquema asociado, que es un espacio topológico (equipado con estructuras adicionales) que es localmente homeomorfo respecto del espectro de un anillo.
.., xn − an contiene S; además, estos son ideales máximos y según el teorema del punto cero ("Nullstellensatz") débil, un ideal de cualquier anillo de coordenadas afín es máximo si y solo si es de esta forma.
Además, los elementos que realmente están en P son precisamente aquellos cuyo reflejo desaparece en P. Entonces, si se piensa en la aplicación, asociada a cualquier elemento a de A: ("evaluación de a"), que asigna a cada punto su reflejo en el campo residual, como una función del espectro de A (cuyos valores, ciertamente, se encuentran en diferentes cuerpos en diferentes puntos), entonces se tiene que De manera más general, V(I) para cualquier I ideal es el conjunto común en el que todas las funciones en I se anulan, lo que es formalmente similar a la definición clásica.
Al igual que en el caso clásico, para pasar de la definición afín a la proyectiva solo se necesita reemplazar ideal por ideal homogéneo, aunque existe una complicación que involucra el ideal máximo irrelevante, que se analiza en el artículo citado.
El cambio más drástico en la topología de la imagen clásica a la nueva es que los puntos ya no están necesariamente cerrados.
Sin embargo, el espectro y el espectro proyectivo siguen siendo espacios T0: dados dos puntos P, Q, que son ideales primos de A, al menos uno de ellos, por ejemplo P, no contiene al otro.
Al igual que en la geometría algebraica clásica, cualquier espectro o espectro proyectivo es (cuasi) compacto, y si el anillo en cuestión es noetheriano, entonces el espacio es un espacio noetheriano.
Sin embargo, estos hechos son contrarios a la intuición: normalmente no se espera que los conjuntos abiertos, distintos de componentes conexos, sean compactos, y para variedades afines (por ejemplo, el espacio euclídeo) ni siquiera se espera que el espacio mismo sea compacto.
