En álgebra abstracta, se denomina cuerpo de fracciones de un dominio de integridad
al mínimo cuerpo que contiene a dicho dominio.
Dicho cuerpo siempre existe y se denota por
u o t
(del inglés: quotient field) o
r a c
El ejemplo más sencillo de un cuerpo de fracciones es el de los números racionales, que son el cuerpo de fracciones de los números enteros.
El cuerpo de fracciones de cualquier otro dominio de integridad se construye de manera análoga a este.
Sea un anillo conmutativo
, que a su vez sea un dominio de integridad, es decir, que carezca de divisores de cero.
es el siguiente:[1] Como se verá más adelante, a este conjunto
se le puede dotar de estructura de cuerpo con las operaciones adecuadas.
,[2] ya que podemos identificar cada elemento
[3] Otra propiedad interesante es que este cuerpo es, salvo isomorfismo, el menor cuerpo que contiene a
Es decir, si existe un cuerpo
{\displaystyle Q(A)\subseteq K}
[5] Definimos la suma en el cuerpo de fracciones como
de la siguiente manera: Es sencillo comprobar que es una operación interna bien definida, asociativa, conmutativa, que tiene elemento neutro
, y que todo elemento
{\displaystyle {\tfrac {a}{b}}\in Q(R)}
tiene por elemento opuesto a
tiene estructura de un grupo abeliano.
Definimos la multiplicación en el cuerpo de fracciones como
de la siguiente manera: Es sencillo comprobar que es una operación interna bien definida, asociativa, conmutativa, que tiene elemento neutro
, y que todo elemento
{\displaystyle {\tfrac {a}{b}}\in (Q(R)\setminus \{0\}}
Se demuestra sin dificultad que el producto (·) es distributivo respecto de la suma (+).