En álgebra conmutativa se denominan anillos de fracciones a unos objetos matemáticos que generalizan el concepto de cuerpo de fracciones.
Dados un anillo conmutativo
y un subconjunto suyo no vacío que satisface ciertas condiciones -cuyos elementos llamaremos denominadores- se puede formar un anillo en el cual todos los denominadores tengan inverso multiplicativo.
Este anillo, llamado anillo de fracciones de
es también conmutativo y además es unitario, aunque el propio
un subconjunto cualquiera que satisface las dos condiciones siguientes: Consideremos en
la relación binaria Es fácil comprobar que
es una relación de equivalencia y, por tanto, puede considerarse el conjunto cociente
a la clase del elemento
Las operaciones adición y producto dadas por están bien definidas y dotan a
de una estructura de anillo conmutativo y unitario, que se denomina anillo de fracciones del anillo
Dado un elemento fijo
cualquiera, podemos definir un homomorfismo de anillos dado por La imagen
No obstante, si el conjunto
contiene divisores de cero, p.e.
, tendríamos con lo que el homomorfismo anterior no sería inyectivo.
[1] En caso contrario, si el conjunto
no contiene divisores de cero, podemos embeber el anillo
de manera natural en el anillo de fracciones
, que es de hecho el menor anillo que contiene a
, salvo isomorfismo, en el que cada denominador
contiene a todos los elementos que no son divisores de cero (y nada más) el anillo resultante se denomina anillo total de fracciones de