Este cambio se atribuye a la influencia de Emmy Noether.
Hilbert introdujo un enfoque más abstracto para reemplazar los métodos más concretos y orientados a la computación basados en cosas como el análisis complejo y la teoría invariante clásica.
A su vez, Hilbert influyó fuertemente en Emmy Noether, quien reformuló muchos resultados anteriores en términos de una condición de cadena ascendente, ahora conocida como la condición Noetheriana.
Otro hito importante fue el trabajo del alumno de Hilbert Emanuel Lasker, quien introdujo los ideales primarios y probó la primera versión del teorema de Lasker-Noether.
Hasta el día de hoy, el teorema ideal principal de Krull se considera ampliamente como el teorema fundamental más importante del álgebra conmutativa.
Aunque ya era incipiente en el trabajo de Kronecker, el enfoque moderno del álgebra conmutativa que usa la teoría de módulos generalmente se acredita a Krull y Noether.
Equivalentemente, un anillo es noetheriano si satisface la condición de cadena ascendente sobre ideales; es decir, dada cualquier cadena: existe un n tal que: Para que un anillo conmutativo sea noetheriano basta con que cada ideal primo del anillo esté finitamente generado.
Además, si un anillo es noetheriano, entonces satisface la condición de cadena descendente en ideales primos.
La compleción es similar a la localización, y juntas se encuentran entre las herramientas más básicas para analizar anillos conmutativos.
Los anillos conmutativos completos tienen una estructura más simple que los generales y se les aplica el lema de Hensel.
Por tanto, V(S) es "lo mismo que" los ideales maximales que contienen a S. La innovación de Grothendieck al definir Spec fue sustituir los ideales maximales por todos los ideales primos; en esta formulación es natural generalizar simplemente esta observación a la definición de un conjunto cerrado en el espectro de un anillo.
Hoy en día algunos otros ejemplos se han vuelto prominentes, incluida la topología de Nisnevich.