que es la intersección de todos los ideales por la izquierda maximales de
Hay diferentes tipos de radicales, como el nilradical o el radical de Jacobson, así como una teoría de propiedades generales radicales.
un anillo conmutativo y sea
se denomina radical del ideal
(o sencillamente radical de
Por el Teorema del binomio: En cualquier caso, cada sumando de
de un anillo conmutativo y unitario
se dice que es ideal radical si coincide con su radical, esto es, si
Todo ideal primo es radical: En efecto, Si
es un dominio integral, esto es, no tiene divisores de cero, y en particular no puede tener nilpotentes.
Es sencillo comprobar que si tomamos
(de hecho mediante esta demostración se demuestra de manera inmediata que
Para ver esto, notar en primer lugar que si
Mediante el uso de la localización, podemos ver que
: cada ideal primo es radical, así que la intersección de los ideales primos que contienen a
es multiplicativamente cerrado, así que podremos formar la localización
Primero mostraremos que los elementos nilpotentes de
Podemos usar el Teorema del binomio para expandir (a+b)^(n+m) : Para cada
, se da una y sólo una de las siguientes condiciones: Esto dice que en cada expresión
será lo suficientemente grande como para anular la expresión (si
es mayor o igual que
será lo suficientemente grande como para anular la expresión (si
es nilpotente, y por tanto está en
Para terminar de comprobar que
es un ideal, cogemos un elemento arbitrario
es nilpotente, y está por tanto en
se denomina entonces nilradical de
, o radical nilpotente de
se le denomina anillo reducido (asociado a
, esto es, que el nilradical de un anillo es precisamente el radical del ideal nulo.