Ideal primo
[1][2] Los ideales primos del anillo de los números enteros son los subconjuntos formados por todos los múltiplos de un número primo dado, junto con el ideal cero.
Todos los ideales primitivos son primos, y los ideales primos son tanto primarios como semiprimos.
Un ideal P de un anillo conmutativo
es primo si tiene las siguientes dos propiedades: Esto generaliza la siguiente propiedad de los números primos, conocida como lema de Euclides: si
es un número primo que divide al producto
Resulta que las variedades irreducibles corresponden a ideales primos.
En el enfoque abstracto moderno, se parte de un anillo conmutativo arbitrario y se convierte el conjunto de sus ideales primos, también llamado su espectro, en un espacio topológico, y así se pueden definir generalizaciones de las variedades llamadas esquemas, que tienen aplicaciones no sólo en geometría, sino también en teoría de números.
Sin embargo, se encontró un sustituto general a este resultado cuando Richard Dedekind reemplazó los elementos por ideales y los elementos primos por ideales primos; véase dominio de Dedekind.
La noción de ideal primo se puede generalizar a anillos no conmutativos utilizando una definición análoga a la conmutativa, reemplazando elementos por ideales.
Wolfgang Krull propuso esta idea en 1928.
[4] La siguiente definición puede encontrarse en textos como Goodearl[5] y Lam.
es un anillo (posiblemente no conmutativo) y
: Se puede demostrar que esta definición es equivalente a la dada por elementos para el caso de anillos conmutativos.
Se puede comprobar que si un ideal de un anillo no conmutativo satisface la definición conmutativa de primo, entonces también satisface la versión no conmutativa.
Un ideal que satisface la definición conmutativa de primo se denomina a veces ideal completamente primo, para distinguirlo de los otros ideales meramente primos del anillo.
Esto se aproxima más al punto de vista histórico de los ideales como números ideales, puesto que para el anillo
Las siguientes propiedades también son equivalentes a que el ideal
sea primo: Los ideales primos en anillos conmutativos se caracterizan por tener complementos multiplicativamente cerrados en
y, con ligeras modificaciones, se puede formular una caracterización similar para ideales primos en anillos no conmutativos.
está en S.[7] La siguiente propiedad se puede añadir a la lista de condiciones equivalentes anterior: Los ideales primos pueden construirse como elementos maximales de ciertas colecciones de ideales.
