no nulo y no unidad (es decir, sin inverso multiplicativo en R[x]) se dice irreducible si en cualquier factorización de la forma
Cuando el dominio de integridad en cuestión es un campo, el que
sea un elemento irreducible de
equivale a que este no pueda factorizarse como el producto de dos polinomios de grado menor estricto al suyo.
Esto es un caso particular de elemento irreducible en un dominio íntegro.
El dominio íntegro R puede, entre otros, ser el conjunto
de los números reales (que es dominio íntegro por ser cuerpo), el conjunto
de los números complejos (también cuerpo), el conjunto
de los números racionales (cuerpo también) o el conjunto
de los números enteros (que no es cuerpo pero sí dominio íntegro).
Los cinco polinomios siguientes demuestran algunas características elementales de los polinomios reducibles e irreducibles, dependiendo del dominio de integridad donde estén definidos: En el caso del cuerpo
, tampoco pueden ser reducibles aquellos polinomios de grado 2 con discriminante negativo, ya que a pesar de ser factorizado por polinomios de menor grado que éste, y mayor o igual a 0, no tienen sus coeficientes dentro del cuerpo de los reales.
Éste es el teorema fundamental del álgebra.
Para demostrar si un polinomio es irreducible se pueden aplicar varios criterios, entre los que se encuentran el criterio de Eisenstein, el criterio de reducción o el Lema de Gauss.
cuando p es primo y x es un elemento de orden
de grado 2, tales que su discriminante sea negativo, es decir: