Este cuerpo contiene a los números reales y los imaginarios puros.Este enigma llevó al matemático italiano Gerolamo Cardano a concebir los números complejos alrededor de 1545,[2] aunque su comprensión era rudimentaria.Los números complejos forman un cuerpo algebraicamente cerrado, donde cualquier ecuación polinómica tiene una raíz.Las reglas para la suma, resta, multiplicación y extracción de raíces de números complejos fueron desarrolladas por el matemático italiano Rafael Bombelli,[3] y fue el matemático irlandés William Rowan Hamilton quien desarrolló un formalismo más abstracto para los números complejos, extendiendo esta abstracción a la teoría de los cuaterniones.Quizás se pueda decir que la referencia fugaz más temprana a raíz cuadrada de número negativo aparece en el trabajo del matemático griego del siglo I Herón de Alejandría.en sus cálculos, aunque no se concebían cantidades negativas en la matemática helénica y Herón simplemente lo reemplazó por el mismo valor positivo ([4] El interés por estudiar los números complejos como un tema en sí mismo surgió por primera vez en el siglo XVI, cuando los matemáticos italianos descubrieron soluciones algebraicas para las raíces de los polinomios cúbicos y cuárticos (véase Niccolò Fontana Tartaglia y Gerolamo Cardano).Sin embargo, los cálculos formales con números complejos muestran que la ecuaciónPor supuesto, esta ecuación en particular se puede resolver a simple vista, pero ilustra que cuando se usan fórmulas generales para resolver ecuaciones cúbicas con raíces reales, entonces, como demostraron rigurosamente los matemáticos posteriores, el uso de números complejos es inevitable.Rafael Bombelli fue el primero en abordar explícitamente estas soluciones aparentemente paradójicas de las ecuaciones cúbicas, y desarrolló las reglas para la aritmética compleja que intenta resolver estos problemas.Esta dificultad finalmente llevó a la convención de usar el símbolo especial (Aun así, Euler consideró natural presentar a los estudiantes números complejos mucho antes de lo que se hace hoy en día.A principios del siglo XIX, otros matemáticos descubrieron independientemente la representación geométrica de los números complejos: Buée, Mourey, Warren, Français y su hermano, Bellavitis.Los términos comunes utilizados en la teoría se deben principalmente a sus fundadores.la "forma reducida" (l'expression réduite) y aparentemente introdujo el término "argumento"; Gauss usóEntre los escritores clásicos sobre la teoría general posteriores, se incluyen Richard Dedekind, Otto Hölder, Felix Klein, Henri Poincaré, Hermann Amandus Schwarz, Karl Weierstrass y muchos otros.El cálculo de variable compleja posee diversas propiedades notables que conllevan propiedades que pueden usarse para obtener diversos resultados útiles en matemática aplicada.como algún punto en el plano; podemos ver, por el teorema de Pitágoras, que el valor absoluto de un número complejo coincide con la distancia euclídea desde el origen del plano a dicho punto.Podemos comprobar con facilidad estas cuatro importantes propiedades del valor absoluto: para cualquier complejoLa suma, la resta, la multiplicación y la división de complejos son operaciones continuas.[12] Dos binomios se llaman conjugados si solo difieren en el signo del segundo término.) es un nuevo número complejo, definido así: Se observa que ambos difieren en el signo de la parte imaginaria.en las expresiones anteriores y, utilizando la representación binomial, resulta: Sacando factor común: Frecuentemente, esta expresión se abrevia convenientemente de la siguiente manera: la cual solo contiene las abreviaturas de las razones trigonométricas coseno, la unidad imaginaria y la razón seno del argumento respectivamente.Según esta expresión, puede observarse que para definir un número complejo tanto de esta forma como con la representación binomial se requieren dos parámetros, que pueden ser parte real e imaginaria o bien módulo y argumento, respectivamente.Los complejos no pueden ser ordenados como, por ejemplo, los números reales, por lo queno puede ser convertido de ninguna manera en un cuerpo ordenado.A esto se lo conoce como Teorema Fundamental del Álgebra, y demuestra que los complejos son un cuerpo algebraicamente cerrado; por esto los matemáticos consideran a los números complejos unos números más naturales[cita requerida] que los números reales a la hora de resolver ecuaciones.El análisis del dominio de convergencia revela que dichos conjuntos pueden tener una enorme complejidad autosimilar.nos da la fase y la amplitud, el tratamiento de todas las fórmulas que rigen las resistencias, capacidades e inductores pueden ser unificadas introduciendo resistencias imaginarias para las dos últimas (ver redes eléctricas).
