Fórmula de Euler
La fórmula de Euler establece que para cualquier número real x: para todo número real x, que representa un ángulo en el plano complejo.
Aquí, e es la base del logaritmo natural, i es la unidad imaginaria,
Esta función exponencial compleja se denota a veces cis x ("coseno más i seno").
La fórmula sigue siendo válida si x es un número complejo, por lo que algunos autores se refieren a la versión compleja más general como fórmula de Euler.
[1] La fórmula de Euler es omnipresente en matemáticas, física, química e ingeniería.
El físico Richard Feynman llamó a la ecuación "nuestra joya" y "la fórmula más notable de las matemáticas".
Roger Cotes descubrió en 1714 la relación entre las funciones trigonométricas y el logaritmo,[3][4][5] y fue publicada en su obra póstuma Harmonia mensurarum (1722), 20 años antes de que lo hiciera Leonhard Euler.
Euler desarrolló la fórmula utilizando la función exponencial en vez del logaritmo y lo comunicó en una carta enviada a Christian Goldbach en 1741, siendo publicada y popularizada en su obra Introductio in analysin infinitorum en 1748.
Es interesante notar que ninguno de los descubridores vio la interpretación geométrica señalada anteriormente: la visión de los números complejos como puntos en el plano surgió en 1787 por parte del matemático Caspar Wessel en su único informe para la Real Academia Danesa.
Un siglo más tarde B. Peirce concluyó la deducción de la fórmula delante de sus alumnos, diciendo: "Caballeros, con seguridad esta fórmula es cierta , aunque les parezca paradójica..." [6] Johann Bernoulli había descubierto que[7]
Euler también sugirió que los logaritmos complejos pueden tener infinitos valores.
La fórmula puede interpretarse geométricamente como una circunferencia unidad en el plano complejo, dibujada por la función eix al variar
es el ángulo de una recta que conecta el origen del plano y un punto sobre la circunferencia unidad, con el eje positivo real, medido en sentido contrario a las agujas del reloj y en radianes.
basándose en las series de Taylor es la siguiente: también válido para: Definimos cada una de estas funciones por las series anteriores, remplazando x por i·z, donde z es una variable real e i la unidad imaginaria.
Esto es posible porque el radio de convergencia es infinito en cada serie.
Remplazando z = x como un número real resulta en la identidad original tal como la descubrió Euler.
Otra demostración[8] se basa en el hecho de que todos los números complejos pueden expresarse en coordenadas polares.
Por lo tanto, para algunos r y θ dependen de x,
Sustituyendo r(cos θ + i sen θ) por eix e igualando las partes real e imaginaria en esta fórmula da dr/dx = 0 y dθ/dx = 1.
La fórmula proporciona una potente conexión entre el análisis matemático y la trigonometría.
Una propiedad importante de la fórmula de Euler es que es la única función matemática que permanece con la misma forma (excepto por la unidad imaginaria) con las operaciones de integración y derivación del cálculo integral, lo que permite que se utilice para convertir ecuaciones diferenciales en ecuaciones con forma algebraica, simplificando enormemente esas operaciones.
, es decir, que pertenece al conjunto de números complejos.
Estas funciones trigonométricas cumplen las leyes de sus similares aplicadas a los números reales.
, entonces son válidas las siguientes igualdades: En las ecuaciones diferenciales, la expresión
es utilizada a menudo para simplificar derivadas, incluso si la respuesta final es una función real en la que aparezcan senos o cosenos.
Esta fórmula puede interpretarse como que la función eiφ es un número complejo unitario, es decir, traza el círculo unitario en el plano complejo a medida que φ recorre los números reales.
Aquí φ es el ángulo que forma una recta que une el origen con un punto del círculo unitario con el eje real positivo, medido en sentido contrario a las agujas del reloj y en radianes.
La demostración original se basa en las expansiones en serie de Taylor de la función exponencial ez (donde z es un número complejo) y de sin x y cos x para números reales x (véase más adelante).
La forma polar simplifica las matemáticas cuando se utiliza en la multiplicación o potencias de números complejos.
donde φ es el argumento de z, es decir, el ángulo entre el eje x y el vector z medido en sentido antihorario en radianess, que está definido salvo para 2π}.
