Coordenadas polares

Con este sistema de referencia y una unidad de medida métrica (para poder asignar distancias entre cada par de puntos del plano), todo punto P del plano corresponde a un par ordenado (r, θ) donde r es la distancia de P al origen y θ es el ángulo formado entre el eje polar y la recta dirigida OP que va de O a P. El valor θ crece en sentido antihorario y decrece en sentido horario.El astrónomo Hiparco (190 a. C.-120 a. C.) creó una tabla trigonométrica que daba la longitud de una cuerda en función del ángulo.Blaise Pascal utilizó posteriormente las coordenadas polares para calcular la longitud de arcos parabólicos.El término actual de coordenadas polares se atribuye a Gregorio Fontana, y fue utilizado por los escritores italianos del siglo XVIII.El término aparece por primera vez en inglés en la traducción de 1816 efectuada por George Peacock del Tratado del cálculo diferencial y del cálculo integral de Sylvestre François Lacroix,[3]​ mientras que Alexis Clairaut fue el primero que pensó en ampliar las coordenadas polares a tres dimensiones.Esto ocurre por dos motivos: Los ángulos en notación polar se expresan normalmente en grados o en radianes, dependiendo del contexto.Por ejemplo, las aplicaciones de navegación marítima utilizan las medidas en grados, mientras que algunas aplicaciones físicas (especialmente la mecánica rotacional) y la mayor parte del cálculo matemático expresan las medidas en radianes.es una función creciente en su dominio: Muchos lenguajes de programación modernos evitan tener que almacenar el signo del numerador y del denominador gracias a la implementación de la función atan2, que tiene argumentos separados para el numerador y el denominador.En los lenguajes que permiten argumentos opcionales, la función atan puede recibir como parámetro la coordenada x (como ocurre en Lisp).(θ) será simétrico rotacionalmente α° en sentido horario respecto al polo.Debido a la naturaleza circular del sistema de coordenadas polar, muchas curvas se pueden describir con una simple ecuación polar, mientras que en su forma cartesiana sería mucho más intrincado.Por ejemplo, para una circunferencia con centro en el polo y radio a, se obtiene:[8]​ Las líneas radiales (aquellas que atraviesan el polo) se representan mediante la ecuación donde φ es el ángulo de elevación de la línea, esto es, φ = arctanSi k es racional, pero no entero, la gráfica es similar a una rosa, pero con los pétalos solapados.Una sección cónica con un foco en el polo y el otro en cualquier punto del eje horizontal (de modo que el semieje mayor de la cónica descanse sobre el eje polar) es dada por: donde e es la excentricidad yPara la elipse, el caso especial e = 0 resulta en un círculo de radioEl número complejo z se puede representar en forma rectangular como donde i es la unidad imaginaria.Para las operaciones de multiplicación, división y exponenciación de números complejos, es normalmente mucho más simple trabajar con números complejos expresados en forma polar que con su equivalente en forma rectangular: El cálculo infinitesimal puede ser aplicado a las ecuaciones expresadas en coordenadas polares.A lo largo de esta sección se expresa la coordenada angular θ en radianes, al ser la opción convencional en el análisis matemático.[10]​[11]​ Partiendo de las ecuaciones de conversión entre coordenadas rectangulares y polares, y tomando derivadas parciales se obtiene Para encontrar la pendiente en cartesianas de la recta tangente a una curva polar r(θ) en un punto dado, la curva debe expresarse primero como un sistema de ecuaciones paramétricas Diferenciando ambas ecuaciones respecto a θ resulta Dividiendo la segunda ecuación por la primera se obtiene la pendiente cartesiana de la recta tangente a la curva en el punto (r, r(θ)): Sea R una región del plano delimitada por la curva continua r(θ) y las semirrectas θ = a y θ = b, donde 0 < b − a < 2π.Se puede construir un sector circular con centro en el polo, radio r(θi), ángulo central Δθ y longitud de arcoEn el límite, cuando n → ∞, la suma pasa a ser una suma de Riemann, y por tanto converge en la integral Usando las coordenadas cartesianas, un elemento de área infinitesimal puede ser calculado como dA = dx dy.El método de integración por sustitución para las integrales múltiples establece que, cuando se utiliza otro sistema de coordenadas, debe tenerse en cuenta la matriz de conversión Jacobiana: Por lo tanto, un elemento de área en coordenadas polares puede escribirse como: Una función en coordenadas polares puede ser integrada como sigue: donde R es la región comprendida por una curva r(θ) y las rectas θ = a y θ = b.La fórmula para el área de R mencionada arriba se obtiene tomando f como una función constante igual a 1.Son las más adecuadas en cualquier contexto donde el fenómeno a considerar esté directamente ligado con la dirección y longitud de un punto central, como en las figuras de revolución, en los movimientos giratorios, en las observaciones estelares, etc.Los ejemplos vistos anteriormente muestran la facilidad con la que las coordenadas polares definen curvas como la espiral de Arquímedes, cuya ecuación en coordenadas cartesianas sería mucho más intrincada.Además muchos sistemas físicos, tales como los relacionados con cuerpos que se mueven alrededor de un punto central, o los fenómenos originados desde un punto central, son más simples y más intuitivos de modelar usando coordenadas polares.Las coordenadas polares se usan a menudo en navegación, ya que el destino o la dirección del trayecto pueden venir dados por un ángulo y una distancia al objeto considerado.Las aeronaves, por ejemplo, utilizan un sistema de coordenadas polares ligeramente modificado para la navegación.En el origen de coordenadas, uno de los puntos que tienen más interés para el análisis (por anular habitualmente funciones racionales o logarítmicas), este problema puede solventarse aplicando coordenadas polares.Al sustituir las coordenadas cartesianas x, y, z, …, por sus correspondientes equivalencias en coordenadas polares, el límite al aproximarse al origen se reduce a un límite de una única variable, lo que resulta fácil de calcular por ser el seno y el coseno funciones acotadas y r un infinitésimo.