El radio de curvatura es una magnitud que mide la curvatura de un objeto geométrico tal como una línea curva, una superficie o más en general una variedad diferenciable embebida en un espacio euclídeo.
El radio de curvatura de una línea curva o un objeto aproximable mediante una curva es una magnitud geométrica que puede definirse en cada punto de la misma y que coincide con el inverso del valor absoluto de la curvatura en cada punto:
Por otro lado la curvatura es una medida del cambio que sufre la dirección del vector tangente a una curva cuando nos movemos a lo largo de ésta.
Para una curva parametrizada cualquiera la curvatura y el radio de curvatura vienen dados por:[1]
Si en lugar de un parámetro cualquiera usamos el parámetro de longitud de arco, la anterior ecuación se simplifica mucho, por resultar un vector tangente constante, y puede escribirse como:
Para una curva plana cuya ecuación pueda escribirse en coordenadas cartesianas
x = x ( t ) ; y = y ( t )
donde t es un parámetro arbitrario, la expresión para el radio de curvatura se reduce a:
En caso de que pueda escribirse
y = f ( x )
como el parámetro arbitrario, y el radio de curvatura se puede calcular simplemente como:
{\displaystyle R_{c}={\frac {\left[1+\left({\frac {df}{dx}}\right)^{2}\right]^{\frac {3}{2}}}{\left|{\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}\right\vert }}}
En primer lugar tenemos la ecuación paramétrica de la curva
Ahora debemos buscar la ecuación paramétrica de la circunferencia (
y además satisfaga que
Claramente el radio no depende de la posición (
A partir de dos vectores
solo se pueden obtener tres escalares independientes, que son:
Por lo tanto el radio de curvatura dependerá únicamente de los escalares
La ecuación paramétrica general para una circunferencia en
es el centro de la circunferencia (aunque es irrelevante, por desaparecer al derivar),
{\displaystyle A,B\in \mathbb {R} ^{n}}
son vectores perpendiculares le módulo
es una función cualquiera doblemente diferenciable en
si ahora igualamos a las derivadas correspondientes de
que se trata de un sistema en
que permite despejar
Una superficie embebida en el espacio euclídeo tridimensional se caracteriza en cada uno de sus puntos por dos radios de curvatura.
El centro de ambos radios de curvatura está situado sobre la recta que contiene al vector normal a la superficie.
Si los dos radios de curvatura son finitos entonces se tiene: