Problema de los dos cuerpos

Los ejemplos comunes incluyen la Luna orbitando la Tierra y en ausencia del Sol, es decir aislados, un planeta orbitando una estrella, dos estrellas que giran en torno al centro de masas (estrella binaria), y un electrón orbitando en torno a un núcleo atómico.Dado que el problema puede resolverse exactamente, el problema de los dos cuerpos correspondiente también puede resolverse con exactitud, excepto si uno de los cuerpos es irregular, en cuyo caso se vuelve irresoluble.vectores que indican la posición de dos cuerpos, yLos dos puntos sobre los vectores de posición denotan la derivada segunda respecto del tiempo t, es decir, corresponde al vector de aceleración Nuestro objetivo es determinar las trayectoriasLa suma produce una ecuación que describe el movimiento del centro de masas, y la resta da una ecuación que describe cómo varía con el tiempo el vector de posición entre las dos masas.donde hemos usado tercera ley de NewtonDe modo que pueden determinarse la posición y velocidad del centro de masa en cualquier instante dadas las posiciones y velocidades iniciales.es la masa reducida Una vez que hemos resuelto las ecuacionesComo la fuerza entre las dos partículas está en la línea que las une y por tanto es paralela al radio vector, el producto vectorial entre el vector de posición y la fuerza es nuloEs útil a menudo cambiar a las coordenadas polares, ya que el movimiento está en un plano y, para muchos problemas físicos, la fuerzaAsí que se puede expresar la velocidad areolar en función del momento angularConviene recalcar que este hecho es una propiedad general del movimiento de las fuerzas centrales y es por tanto más general que las fuerzas de la gravitación inversamente proporcionales al cuadrado de la distancia.El movimiento de un planeta en el plano de su órbita, se compone de dos movimientos, uno el ángulo que gira el radio vector y el otro su acercamiento o alejamiento del primario, es decir la variación del módulo del radio vector con el tiempo.La ley de las áreas determina que, un cuerpo gira más rápido cuando está cerca y lento cuando está lejos y lo hace cuantitativamente, como para poder establecer el ángulo de giro, aunque resulta difícil.Para obtener el ángulo de giro E con el tiempo hay que expresar esta fórmula de otra manera: Esta fórmula se denomina ecuación de Kepler, donde M es la anomalía media, e es la excentricidad y E la anomalía excéntrica.En coordenadas polares la velocidad, asumiendo que la órbita está en el plano OXY vale:, la segunda ecuación queda: Separando variables: La integración resulta: Sabemos que momento angular específico (por unidad de masa) vale: Tomando logaritmos: Trescientos años de experiencia avalan el cambio de variable: Derivando: Volviendo a derivar y teniendo presente queResulta, Esta ecuación diferencial tiene la solución general: donde e and θ0 son constantes arbitrarias de integración.θ recibe el nombre de anomalía verdadera normalmente se representa por V es el ángulo que forma el radio vector con el periastro y se relaciona fácilmente con la anomalía excéntrica E.El problema de los dos cuerpos es interesante en astronomía porque los pares de objetos astronómicos se mueven a menudo rápidamente en direcciones arbitrarias (por lo que sus movimientos se vuelven interesantes), están muy separados entre sí (por lo que no colisionarán) y aún más separados de otros objetos (por lo que las influencias externas serán lo suficientemente pequeñas como para ser ignoradas con seguridad).Si un objeto es mucho más pesado que el otro, se moverá mucho menos que el otro con referencia al centro de masa compartido.El centro de masa mutuo puede estar incluso dentro del objeto mayor.En principio, las mismas soluciones se aplican a los problemas macroscópicos que implican objetos que interactúan no sólo a través de la gravedad, sino a través de cualquier otro campo de fuerza escalar que obedezca a una ley del cuadrado inverso, siendo la atracción electrostática el ejemplo físico más obvio.En la práctica, estos problemas rara vez se plantean.Salvo quizás en aparatos experimentales u otros equipos especializados, rara vez encontramos objetos que interactúen electrostáticamente y que se muevan lo suficientemente rápido, y en una dirección tal, como para evitar la colisión, y/o que estén lo suficientemente aislados de su entorno.Además dos cuerpos que actúan uno sobre otro mediante interacciones electromagnéticas o gravitatorias deben emitir ondas electromagnéticas y gravitatorias, por lo que dicho problema siempre implicará la existencia de un campo continuo que radia energía desde el centro de masa hacia afuera.Esto impide el tratamiento del problema de los dos cuerpos como un sistema cerrado que conserva la energía total.El problema de los dos cuerpos atraídos por fuerzas electromagnéticas admite una solución en mecánica cuántica.Es notorio que en este caso el movimiento no es estrictamente plano.