Problema de Lambert
Fue planteado en el siglo XVIII por el matemático alemán Johann Heinrich Lambert y resuelto formalmente con demostración matemática por Joseph-Louis Lagrange.
Tiene aplicaciones importantes en las áreas del encuentro, apuntado, orientación y determinación preliminar de órbitas de naves espaciales.
La formulación precisa del problema de Lambert es la siguiente: Dados dos tiempos diferentes
está más alejado del punto
El problema geométrico a solucionar consiste en encontrar todas las elipses que pasan por los puntos
definen una hipérbola que pasa por el punto
El semieje mayor de esta hipérbola es
Su ecuación relativa al sistema de coordenada canónico habitual definido por los ejes mayor y menor de la hipérbola es con Para cualquier punto en la misma rama de la hipérbola, como
en la otra rama de la hipérbola, la relación correspondiente es
es decir Pero esto significa que los puntos
se encuentran ambos en la elipse que tiene los puntos focales
y el semieje mayor La elipse correspondiente a un punto
Primero hay que separar los casos según el polo orbital esté en la dirección
En el primer caso el ángulo de transferencia
para el primer paso a través de
y en el segundo caso será en el intervalo
continuará pasando a través de
están situados en direcciones opuestas, todos los planos orbitales que contienen la línea correspondiente son igualmente adecuados y el ángulo de transferencia
es como en la figura 1, con Y el semieje mayor (con signo) de la hipérbola discutida anteriormente es La excentricidad (con signo) para la hipérbola es Y el semieje menor es Las coordenadas del punto
relativas al sistema de coordenadas canónico para la hipérbola es (teniendo en cuenta que
) donde Utilizando la coordenada y del punto
) El semieje mayor de la elipse que pasa por los puntos
es La distancia entre los focos es Y la excentricidad es, consiguientemente La anomalía verdadera
En ambos casos se tiene que donde es el vector unidad en la dirección de
está en el rango que puede ser obtenido con una órbita elíptica de Kepler el valor correspondiente a, y puede ser encontrado utilizando un algoritmo iterativo.
y la hipérbola con dos ramas degenera en una única línea ortogonal a la recta entre
con la ecuación Las ecuaciones (11) y (12) son entonces reemplazadas por (14) es reemplazada por y (15) es reemplazada por Asúmanse los valores siguientes para una órbita de Kepler centrada en la Tierra: Estos son los valores numéricos que corresponden a las figuras 1, 2, y 3.
Los elementos orbitales correspondientes son Este valor de y corresponde a la figura 3.
Si dos posiciones de una aeronave en diferentes momentos se conocen con buena precisión (por ejemplo, mediante GPS) se puede deducir la órbita completa con este algoritmo, obteniéndose una interpolación y una extrapolación de esta dos posiciones fijas.
Se pueden parametrizar todas las posibles órbitas que pasan a través de los dos puntos
