Órbita de Kepler

En su cálculo solo se considera la atracción gravitacional puntual de dos cuerpos, despreciando las perturbaciones debidas a las interacciones gravitatorias con otros objetos, el arrastre atmosférico, la presión de radiación o que el cuerpo central no sea esférico entre otras simplificaciones.

Como teoría en mecánica clásica, tampoco tiene en cuenta los efectos de la relatividad general.

Desde tiempos antiguos hasta los siglos XVI y XVII, se creía que los movimientos de los planetas seguían caminos geocéntricos perfectamente circulares, tal como los enseñaban los antiguos filósofos griegos Aristóteles y Claudio Ptolomeo.

Kepler pasaría los cinco años siguientes tratando de ajustar las observaciones del planeta Marte a varias curvas, y en 1609 publicó las dos primeras de sus tres leyes del movimiento planetario.

De esto se desprende inmediatamente que la atracción entre dos esferas homogéneas es como si ambas tuvieran su masa concentrada en su centro.

Los objetos más pequeños, como asteroides o naves espaciales a menudo tienen una forma que se desvía fuertemente de una esfera.

Pero las fuerzas gravitacionales producidas por estas irregularidades son generalmente pequeñas en comparación con la gravedad del cuerpo central.

Por lo tanto, para algunas aplicaciones, la irregularidad de la forma puede despreciarse sin un impacto significativo en la precisión.

Este fenómeno es bastante notable para los satélites artificiales de la Tierra, especialmente aquellos en órbitas bajas.

A distancias mayores, el efecto de este achatamiento se vuelve insignificante.

en un sistema de referencia inercial, experimentan las siguientes fuerzas gravitacionales: donde

Dividiendo por sus respectivas masas y restando la segunda ecuación de la primera, se obtiene la ecuación del movimiento para la aceleración del primer objeto con respecto al segundo:

(1)En muchas aplicaciones, se puede hacer una tercera suposición simplificadora: Esta suposición no es necesaria para resolver el problema de los dos cuerpos, pero simplifica los cálculos, particularmente con los satélites que orbitan la Tierra y los planetas que giran alrededor del sol.

Vale la pena mencionar que cualquier trayectoria kepleriana se puede definir mediante seis parámetros.

Cada vector tiene tres componentes, por lo que el número total de valores necesarios para definir una trayectoria a través del espacio es seis.

Una órbita generalmente está definida por seis elementos (conocidos como "elementos keplerianos") que se pueden calcular a partir de su posición y su velocidad, tres de los cuales ya se han discutido.

son simplemente medidas angulares que definen la orientación de la trayectoria en el marco de referencia, no son estrictamente necesarias cuando se discute el movimiento del objeto dentro del plano orbital.

Como el producto vectorial del vector de posición y su velocidad permanece constante, deben estar en el mismo plano, ortogonal a

Sin embargo, es importante tener en cuenta que la ecuación (1) se refiere a la aceleración lineal

(2)Para resolver esta ecuación, primero se deben eliminar todas las derivadas respecto al tiempo.

(6)Con estas cuatro sustituciones, se pueden eliminar todas las derivadas respecto al tiempo en (2), produciendo un ecuación diferencial ordinaria para

(7)La ecuación diferencial (7) se puede resolver analíticamente mediante la sustitución de variables

Dándose cuenta de que Sustituyendo estos valores en la ecuación anterior, se obtiene: Integrando ambos lados: donde c es un vector constante.

Al comparar esto con r se obtiene un resultado interesante: donde

(13)Esta es la ecuación en coordenadas polares de una curva cónica con origen en un punto focal.

(17)La imagen adjunta ilustra un círculo (gris), una elipse (roja), una parábola (verde) y una hipérbola (azul).

Para la elipse también hay un apocentro para el que la distancia al foco toma el valor máximo

y el tiempo t es ligeramente diferente para las órbitas elíptica e hiperbólica.

, la órbita de Kepler correspondiente a este estado se puede calcular con el algoritmo definido anteriormente.

Para una órbita "cercana a la circular", el concepto "vector de excentricidad" definido como

Una órbita elíptica de Kepler con una excentricidad de 0,7, una órbita parabólica de Kepler y una órbita de Kepler hiperbólica con una excentricidad de 1,3. La distancia al punto foca es una función del ángulo polar relativo a la línea horizontal según lo dado por la ecuación ( 13 )
Ley de Newton de la gravitación universal: una masa puntual m 1 atrae a otra masa puntual m 2 con una fuerza F 2 que es proporcional al producto de las dos masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia ( r ) entre ellas. Independientemente de las masas o la distancia, las magnitudes de | F 1 | y | F 2 | siempre serán iguales y de signo contrario. G es la constante de gravitación universal .
Elementos orbitales Keplerianos
Un diagrama de las diversas formas de la Órbita de Kepler y sus excentricidades. En azul figura una trayectoria hiperbólica ( e > 1). En verde aparece una trayectoria parabólica ( e = 1). En rojo, una órbita elíptica (0 < e <1), y en gris una órbita circular ( e = 0).