Ecuación del centro

En astrodinámica, es posible abordar el problema de los dos cuerpos Kepleriano mediante la ecuación del centro, considerando la diferencia angular entre la posición real de un cuerpo en su órbita elíptica y la posición que ocuparía si su movimiento fuera uniforme, en una órbita circular del mismo período.

Al calcular la posición del cuerpo alrededor de su órbita, a menudo es conveniente comenzar asumiendo un movimiento circular.

Esta primera aproximación es simplemente una velocidad angular constante multiplicada por una cantidad de tiempo.

En casos de excentricidad orbital pequeña, la posición dada por la ecuación del centro puede ser casi tan precisa como cualquier otro método para resolver el problema.

A medida que la excentricidad se hace mayor y las órbitas son más elípticas, la exactitud de la ecuación disminuye, fallando por completo en los valores más altos, y por lo tanto, no se usa para tales órbitas.

La ecuación en su forma moderna se puede truncar a cualquier nivel arbitrario de precisión, y cuando se limita a solo los términos más importantes, puede producir una aproximación calculada fácilmente de la posición verdadera cuando la precisión total no es importante.

[2]​ La palabra ecuación (del latín, aequatio, -onis) en el sentido presente proviene de la astronomía.

[4]​[5]​ En el movimiento kepleriano, las coordenadas del cuerpo vuelven a los mismos valores con cada órbita, que es la definición de una función periódica.

Dichas funciones se pueden expresar como series de cualquier variable angular con crecimiento continuo,[6]​ y la variable de mayor interés es la anomalía media, M. Debido a que aumenta de manera uniforme con el tiempo, expresar cualquier otra variable como una serie en la anomalía media es esencialmente lo mismo que expresarlo en términos del tiempo.

Si e excede 0.6627..., diverge para algunos valores de M, efecto descubierto por Pierre-Simon Laplace.

Vista simulada de un objeto en una órbita elíptica , como se ve desde el foco de la órbita . La vista gira de acuerdo con la anomalía media , por lo que el objeto parece oscilar hacia adelante y hacia atrás en esta posición media con la ecuación del centro . El objeto también parece hacerse cada vez más pequeño a medida que se aleja más y más debido a la excentricidad de la órbita. Un marcador (rojo) muestra la posición relativa del ápside .
Error máximo de la expansión en serie de la ecuación del centro , expresada en radianes , en función de la excentricidad orbital (eje inferior) y de la potencia de la excentricidad orbital e , en la que la serie se trunca (eje derecho). Téngase en cuenta que con pequeñas excentricidades (lado izquierdo del gráfico), la serie no necesita ser desarrollada a potencias elevadas para producir resultados precisos.
Ecuación del centro expandida en serie en función de la anomalía media para varias excentricidades , con la expresión truncada en e 7 para todas las curvas. Téngase en cuenta que la ecuación truncada falla con excentricidades altas, y produce una curva oscilante .