Función de Bessel
En matemáticas, las funciones de Bessel, primero definidas por el matemático Daniel Bernoulli y más tarde generalizadas por Friedrich Bessel, son soluciones canónicas y(x) de la ecuación diferencial de Bessel: (1)
es un número natural, entero, racional, irracional, algebraico, trascendente, computable, real o complejo.
La solución de tal ecuación se expresa así:[2]
son constantes que se determinan a partir de las condiciones iniciales.
es la función Gamma de Euler, una generalización del factorial para números complejos.
por lo que las dos soluciones dejan de ser linealmente independientes.
Como casos particulares, se tienen las dos primeras funciones de Bessel enteras:
también se les llama a veces funciones de Neumann o de Weber, y a veces se denotan por
En el caso en el que tengamos un orden entero n, la función es definida como el siguiente límite:
Estas funciones son así nombradas en honor de Hermann Hankel.
La siguiente relación es válida para todo valor de α, sea entero o no:[7]
Las funciones de Bessel ordinarias son válidas para valores complejos del argumento x, y un caso especialmente importante es aquel con argumento imaginario puro.
Están relacionadas con las funciones de Bessel ordinarias mediante la siguiente igualdad:
Cuando se soluciona la ecuación de Helmholtz en coordenadas esféricas por separación de variables, la ecuación radial tiene la forma: Donde n es un entero positivo.
, y están relacionadas con las funciones de Bessel ordinarias
dada arriba como: Se pueden obtener las funciones de Bessel esféricas a partir de las siguientes funciones generatrices:[15] La siguiente relación diferencial se cumple para
La solución de Mie lleva el nombre de Gustav Mie, quien la publicó en 1908,[16] sin ser el primero en hacerlo pero a quien se le atribuye por presentar su solución en una forma que permite realizar los cálculos necesario de forma iterativa.
Las funciones de Bessel tienen las siguientes expansiones asintóticas para α no negativos.
Como aproximación asintótica al infinito, (cuando tenemos un argumento tal que verifica
), se obtienen las siguientes aproximaciones:[19] Para α=1/2 estas fórmulas son exactas.
, se obtiene: Para enteros de orden α = n,
Esta expresión puede generalizarse a órdenes no enteros usando integración de contorno u otros métodos.
[20] Existen funciones que admiten la siguiente representación especial con debido a la relación de ortogonalidad
[22] Esta fórmula es especialmente útil cuando se trabaja con transformadas de Fourier.
Estas dos identidades se suelen combinar para obtener otras relaciones distintas.
En particular, se cumple: Las funciones modificadas de Bessel cumplen relaciones similares: Las relaciones de recurrencia serán en este caso: donde
Estas relaciones son útiles para problemas de difusión discreta.
(Obtener una relación análoga para funciones de Bessel esféricas es trivial.)
Las funciones de Bessel verifican un teorema del producto donde
Este fenómeno se conoce como hipótesis de Bourget, en honor al matemático francés del siglo XIX que estudió las funciones de Bessel.
