Serie de Laurent
Esta serie se puede usar para expresar funciones complejas en casos donde una expansión de la serie de Taylor no es aplicable o no se puede acoplar.
Las series de Laurent se pueden usar para expresar funciones holomorfas definidas en coronas, así como las series de potencias se pueden usar para expresar funciones holomorfas en discos.
La serie de Laurent fue descubierta por Karl Weierstrass en el año de 1841, pero no lo publicó en ese entonces;[1] paralelamente, el matemático francés Pierre Alphonse Laurent desarrolló las mismas, y fue quien la publicó por primera vez en el año 1843.
[2] Una serie de Laurent se define con respecto a un punto particular
y un camino de integración
totalmente contenido en una corona abierta alrededor de
sea una función holomorfa (a veces se usa como sinónimo el término función analítica, aunque no es estrictamente correcto, dado que una función analítica es técnicamente aquella que admite desarrollo en serie de potencias en cierto entorno de un punto; lo que ocurre es que en
toda función holomorfa es también analítica).
es una serie de la forma: donde
Los coeficientes de una serie de Laurent en una función analítica se pueden encontrar por medio de la fórmula integral de Cauchy y están dados por: para
es una serie de Laurent con coeficientes an y un centro complejo c. Entonces existen un radio interior r y un radio exterior R únicos de tal forma que: Es posible que
sea 0 y que
sea infinito; en ese caso, la serie converge en todo
, donde no está bien definida.
no es necesariamente menor que
es vacío, lo que significa que la serie no converge en ningún punto.
Los anteriores radios se pueden calcular como sigue (estas fórmulas dan su unicidad): Acabamos de ver que a toda serie de Laurent se le puede vincular una función holomorfa (o, equivalentemente, analítica) de la forma: cuyo dominio es el conjunto de puntos en
sobre el cual es convergente (la corona más, posiblemente, algunos puntos de su frontera).
, existe una única serie de Laurent en la corona que converge (por lo menos) en
quedan determinados, usando la fórmula integral de Cauchy, por las fórmulas
La serie de Laurent es muy importante en el análisis complejo, especialmente para investigar el comportamiento de funciones cerca de singularidades, pues permite saber qué tipos de singularidades tiene una función.
Así, si expandimos una función en serie de Laurent, tomando como centro una singularidad y como radio interior cero, la cantidad de potencias negativas en la serie indicará qué tipo de singularidad es:
