Singularidad evitable
En análisis complejo, una singularidad evitable de una función holomorfa es un punto en el que la función no está definida, pero donde es posible redefinir la función de forma que la función resultante sea holomorfa en un entorno de ese punto.
Por ejemplo, la función sinc (no normalizada)
Sin embargo, la singularidad se puede “evitar” definiendo
La función resultante no solo es continua (que se ha impuesto definiendo el valor de
en 0 como su límite) sino que es holomorfa.
Resulta que en variable compleja este siempre es el caso: siempre que una función holomorfa no definida en un punto aislado tenga límite finito en ese punto, se puede redefinir en ese punto manteniendo la holomorfía.
El problema en el caso anterior estaba causado por darle a
Definiéndola como una serie de potencias construida a partir de la del seno, el problema desaparece (se puede evaluar en
es un subconjunto abierto del plano complejo
es una función holomorfa, decimos que
si existe una función holomorfa
si existe tal función
Nótese que implícitamente en la definición se supone que la singularidad en
es aislada, en el sentido de que debe haber un entorno de
en el que no haya más singularidades.
Esto se puede ver fácilmente observando que
es abierto, por lo que existe un entorno
es holomorfa en todo el entorno
, y no hay, pues, más singularidades en
Así, singularidades como las del logaritmo complejo, por ejemplo, que se extienden a lo largo de toda una semirrecta, quedan fuera del alcance de esta definición.
El teorema de Riemann caracteriza las singularidades evitables como aquellos puntos aislados en que una función holomorfa tiene límite finito.
En concreto, enuncia lo siguiente: Sea
una función holomorfa definida en el conjunto
Para demostrar 4 ⇒ 1, utilizamos que la holomorfía de una función en
(demostración), es decir, a que tenga una representación en serie de potencias.
{\displaystyle h(z)={\begin{cases}(z-a)^{2}f(z)&z\neq a,\\0&z=a.\end{cases}}}
, y existe su derivada en
{\displaystyle h'(a)=\lim _{z\to a}{\frac {(z-a)^{2}f(z)-0}{z-a}}=\lim _{z\to a}(z-a)f(z)=0}
, esto último porque estamos suponiendo cierto (4).
: podemos expresarla en serie de potencias como
