En análisis complejo, el objeto de estudio principal son las funciones holomorfas.Un resultado fundamental de esta rama de las matemáticas es que toda función holomorfa es analítica, hecho cuyo análogo en funciones de variable real no es cierto.De esto se deducen múltiples corolarios que distinguen el análisis complejo del análisis real.que tome valores complejos en un abiertosi es derivable "en un sentido complejo", es decir, imitando la definición en el caso real, si existe el límite[1]es diferenciable en cualquier punto del disco, se dice queEste tipo de funciones son el objeto de estudio principal del análisis complejo.de forma que en todo el discose puede expresar como una serie de potencias convergente:Se puede demostrar que las series de potencias son infinitamente derivables y se pueden derivar término a término (es decir, podemos intercambiar la derivada con el sumatorio).En particular, toda función analítica en un punto es infinitamente derivable en ese punto, y de esto se pueden obtener fórmulas concretas para cada uno de losPor tanto, tenemos que una función es analítica en un puntosi y sólo si existe un entorno deEl resultado de este artículo es que toda función holomorfa es analítica.Es decir, toda función "derivable en el sentido complejo" coincide con su serie de Taylor.El resultado análogo en variable real no es cierto: hay funciones infinitamente derivables que no son analíticas.El ejemplo clásico de esto es la funciónson nulas, por lo que su serie de Taylor enEsto no puede suceder en funciones de variable compleja.la circunferencia, orientada positivamente (en sentido contrario de las agujas del reloj), determinada por la frontera deEmpezando por la fórmula integral de Cauchy y usando la serie de potencias anterior, tenemos que (el paso{\displaystyle {\begin{aligned}f(z)&{}={1 \over 2\pi i}\int _{C}{f(w) \over w-z}\,\mathrm {d} w\\[10pt]&{}={1 \over 2\pi i}\int _{C}{f(w) \over (w-a)-(z-a)}\,\mathrm {d} w\\[10pt]&{}={1 \over 2\pi i}\int _{C}{1 \over w-a}\cdot {1 \over 1-{z-a \over w-a}}f(w)\,\mathrm {d} w\\[10pt]&{}={1 \over 2\pi i}\int _{C}{1 \over w-a}\cdot {\sum _{n=0}^{\infty }\left({z-a \over w-a}\right)^{n}}f(w)\,\mathrm {d} w\\[10pt]&{}{\overset {(*)}{=}}\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over 2\pi i}\int _{C}{(z-a)^{n} \over (w-a)^{n+1}}f(w)\,\mathrm {d} w.\end{aligned}}}, donde intercambiamos la integral y la serie se puede justificar por convergencia uniforme como sigue., que es un conjunto compacto (cerrado y acotado).Así pues, por el teorema de Weierstraß, está acotada por un cierto número positivoAsí pues, la prueba M de Weierstraß muestra que la serie original converge uniformemente en, por lo que se pueden intercambiar la serie y la integral.y se puede extraer de la integral para obtener queEs decir, hemos encontrado una expresión deen serie de potencias válida en todo el disco abierto
La función
no es analítica en
: su serie de Taylor es idénticamente 0, mientras que la función no lo es. Casos como este no existen en variable compleja.
