Teorema de Weierstrass

El teorema de Weierstraß es un teorema de análisis real que establece que una función continua en un intervalo cerrado y acotado (de números reales) alcanza sus valores máximo y mínimo en puntos del intervalo.

También se puede enunciar en términos de conjuntos compactos.

El teorema establece que una función continua transforma intervalos compactos en intervalos compactos.

Teorema de WeierstraßSi una función

es continua en un intervalo cerrado y acotado

alcanza sus extremos absolutos, es decir, existen dos puntos

Tenemos una sucesión que converge al supremo del conjunto, ahora hay que ver que precisamente el punto dónde se asume el supremo es el punto d, incluido en el conjunto, y por lo tanto este supremo es un máximo.

El Teorema de Bolzano-Weierstraß nos dice que existe una subsucesión {

}, que converge a un punto d y, dado que [a,b] es cerrado, d está en [a,b].

)} converge a f(d).

Pero {f(dnk)} es una subsucesión de {f(dn)} que converge a M, entonces M = f(d), ya que si una sucesión es convergente a un punto cualquier sucesión parcial converge al mismo punto.

Por lo tanto, f asume el supremo M en el punto d, y como d es del conjunto es el máximo.

La demostración para ver que el ínfimo del conjunto [a,b] por f se asume dentro del conjunto y por lo tanto es mínimo es análoga a esta.

∎ El teorema de Weierstraß se puede generalizar a aplicaciones continuas entre espacio topológicos.

Teorema de Weierstraß (generalización)Sean

Gracias al Teorema de Heine-Borel, se puede formular el teorema anterior para funciones continuas entre un espacio topológico y un espacio normado: En concreto, si