[cita requerida] El teorema se enuncia de la siguiente manera: Si un conjunto
tiene alguna de las siguientes propiedades, entonces tiene las otras dos: Las distintas formulaciones del teorema se deben su nombre a los matemáticos Eduard Heine, Émile Borel (1895), Henri Lebesgue (1898), Bernard Bolzano y Karl Weierstrass.
La historia de lo que hoy se llama teorema de Heine-Borel comienza en el siglo XIX, con la búsqueda de sólidos cimientos para el análisis real.
Central en la teoría era el concepto de la continuidad uniforme y el teorema que indica que cada función continua en un intervalo cerrado es uniformemente continua.
Peter Gustav Lejeune Dirichlet fue el primero en demostrarlo e implícitamente utilizó la existencia de un subconjunto finito de un conjunto abierto dado de un intervalo cerrado en su prueba.
[1] Utilizó esta prueba en sus conferencias de 1852, solamente publicadas en 1904.
[1] Más tarde Eduard Heine, Karl Weierstrass y Salvatore Pincherle utilizaron técnicas similares.
Émile Borel en 1895 fue el primero en declarar y demostrar una forma de lo que ahora se llama el teorema de Heine-Borel.
Su formulación estaba restringida a conjuntos contables.
Pierre Cousin (1895), Lebesgue (1898) y Schoenflies (1900) lo generalizaron a conjuntos arbitrarios.
un conjunto compacto tales que
tiene un subrecubrimiento finito que también cubre a
y sigue cubriendo a
no tuviera puntos de acumulación en
no contiene puntos de
es una bola abierta de radio
Es claro que el conjunto de estas bolas forman un recubrimiento abierto de
que por ser compacto admitiría un subrecubrimiento finito.
Pero esto es imposible porque también sería un subrecubrimiento finito de
y supongamos por reducción al absurdo que
no se puede cubrir con una cantidad finita de
no se puede cubrir con una cantidad finita de
Reiterando el proceso obtenemos una sucesión
Si tomamos k suficientemente grande tal que
lo cual contradice la suposición de que no se puede cubrir con una cantidad finita de
no es acotado, entonces contiene una sucesión {
} es infinita pero no tiene puntos de acumulación en
no es cerrado, entonces existe un elemento
cuyo único punto de acumulación es el
, que no pertenece a