En matemáticas, una serie (suma de los términos de una secuencia de números), resulta convergente si la sucesión de sumas parciales tiene un límite en el espacio considerado.
De otro modo, constituiría lo que se denomina serie divergente.
Las series consideradas son numéricas (con términos reales o complejos) o vectoriales (con valores en un espacio vectorial formado).
La serie de término general
converge cuando la sucesión
de sumas parciales converge, donde para todo entero natural n, En este caso la suma de la serie es el límite de la sucesión de sumas parciales La naturaleza de convergencia o no-convergencia de una serie no se altera si se modifica una cantidad finita de términos de la serie.
Resultan convergentes las series de las secuencias: Resultan divergentes las series de las secuencias: (es la conocida como serie armónica); Si
es una serie a valores en un espacio vectorial normado completo, se dice que es absolutamente convergente si la serie de término general
En este caso, la serie
La convergencia absoluta resulta de gran interés para el estudio de series con valores en un espacio de Banach (ese es el caso de las series numéricas), donde es suficiente la convergencia absoluta de la serie para probar que es convergente.
Esta técnica permite en muchos casos restringir el estudio a las series de términos positivos; para los cuales existen numerosos métodos.
entonces el Criterio de D'Alembert establece que si entonces, si
la serie es convergente y si
la serie es divergente.
(Nota: el Criterio de Raabe es recomendado sólo en caso de fallar el Criterio de D'Alembert).
[1, ∞) tal que f(n) = an para todo n, entonces
converge si y sólo si
{\displaystyle \textstyle \int _{1}^{\infty }f(x)\,dx}
Más generalmente, y para el tipo de función definida antes, pero en un intervalo [N,∞), la serie converge si y sólo si la integral converge.
para n par y n impar.
b) La serie tiene que ser absolutamente decreciente, es decir que:
Si esto se cumple, la serie
es condicionalmente convergente, de lo contrario la serie diverge.
Nota: Se debe descartar primero la convergencia absoluta de
antes de aplicar este criterio, usando los criterios para series positivas.
Son aplicables en caso de disponer de otra serie
tal que se conozca su condición de convergencia o no-convergencia.
(de la mayorante o de Gauss) Si
En otro caso no existe información de la serie.
series de términos no negativos.