En matemáticas, una serie (o a veces una integral) de números se dice que converge absolutamente si la suma de los valores absolutos de los términos (o integrandos) es finita.
Se dice que la serie
es absolutamente convergente si la serie
a
a
es absolutamente convergente
a
a
a
a
a
Se dice que la serie
es condicionalmente convergente cuando es convergente pero no absolutamente convergente.
Esto sucede cuando
Por ejemplo, la serie
es condicionalmente convergente porque
(utilizando la serie de Taylor del logaritmo), mientras que
, pues es la serie armónica.
Una propiedad de las series condicionalmente convergentes es que no son reordenables, a diferencia de las absolutamente convergentes: cualquier reordenación de los términos de una serie absolutamente convergente da lugar a la misma suma.
Sin embargo, para series condicionalmente convergentes esto no es cierto: reordenar los términos de la serie puede cambiar su suma.
De hecho, es cierto un resultado mucho más fuerte, el teorema de reordenación de Riemann, que afirma que podemos reordenar una serie condicionalmente convergente para que su suma sea cualquier número real, o incluso para hacerla divergente: Sea
una sucesión de números reales tal que la serie
sea condicionalmente convergente.
existe una permutación
tal que
σ ( n )
2) existe una permutación
tal que
τ ( n )
La demostración del teorema puede leerse en su propia página: Teorema de Riemann (series).