Se llama serie armónica (en matemáticas) a aquella que suma los inversos multiplicativos de los enteros positivos, denotándola con la siguiente serie infinita:
El primer término representa por tanto al modo fundamental.
Esta prueba fue dada por Nicolás Oresme en (1350) y fue un gran paso para las matemáticas medievales en particular[1] Se tiene la desigualdad
Si definimos el n-ésimo número armónico como: entonces Hn crece aproximadamente tan rápido como el logaritmo natural de n. Esto es así porque la suma se aproxima a la integral cuyo valor es log(n).
Con más precisión, tenemos el límite: donde γ es la constante de Euler-Mascheroni.
Se puede demostrar que: Entre las representaciones para Hn, en las que n puede ser un número fraccionario o negativo(no entero) están: dada[3] por Leonhard Euler.
Jeffrey Lagarias demostró en 2001 que la hipótesis de Riemann es equivalente a la afirmación: donde σ(n) es la suma de los divisores positivos de n.[4] Las series armónicas generalizadas se definen de la siguiente forma: Como principal propiedad tenemos que todas estas series son divergentes.
La serie es convergente si p > 1 y divergente en otro caso.