Función digamma
En matemáticas, la función digamma se define como la derivada logarítmica de la función gamma: donde
La función digamma también suele denotarse por
La función gamma satisface la ecuación derivando la expresión anterior respecto a
obtenemos dividiendo ambos lados de la igualdad por
obtenemos o Dado que los números armónicos están definidos para
como la función digamma se relaciona con ellos mediante donde
entonces la función digamma tiene la siguiente representación integral debida a Gauss combinando esta expresión con una integral que representa la constante de Euler-Mascheroni
tenemos esta integral es el número armónico de Euler
por lo que la fórmula anterior puede ser escrita como Una consecuencia es la siguiente relación de recurrencia Otra representación integral, debido a Dirichlet, es la siguiente La función
es una función entera y puede ser representada por el producto infinito donde
Utilizando fórmula del producto de Euler para la función gamma, junto con la ecuación funcional y una identidad para la constante de Euler-Mascheroni, obtenemos la siguiente expresión para la función digamma o equivalentemente La identidad anterior puede ser usada para evaluar sumas de la forma donde
son polinomios de grado
Empleando fracciones parciales en
y en el caso en el que las raíces de
son raíces simples, para que la serie converja en caso contrario la serie diverge.
Dado que y Con las expansiones en series uno puede obtener La función digamma tiene una serie zeta racional, dada por la serie de Taylor en
, esta es y converge para
denota la función zeta de Riemann.
La serie de Newton para la función digamma, en ocasiones llamada como serie de Stern, está dada por donde
La expresión anterior puede ser generalizada a donde
La función digamma satisface una fórmula de reflexión similar a la que se cumple para la función gamma, Para
, la función digamma puede ser expresada en términos de la constante de Euler-Mascheroni y un número finito de funciones elementales
