Función zeta de Riemann
La función zeta de Riemann ζ(s) está definida, para valores complejos con parte real mayor que uno, por la serie de Dirichlet: En la región {s ∈ C | Re(s) > 1}, esta serie infinita converge y define una función que es analítica en esta región.
Riemann observó que la función zeta puede extenderse de manera única por continuación analítica a una función meromorfa en todo el plano complejo con un único polo en s = 1.
Esta es la función que se considera en la hipótesis de Riemann.
Esta expresión es llamada producto de Euler, en honor a su descubridor.
La función zeta de Riemann se puede prolongar analíticamente para todo número complejo excepto s=1, mediante la siguiente ecuación funcional: La ecuación tiene un polo simple en s=1 con residuo 1 y fue demostrada por Bernhard Riemann en 1859 en su ensayo Sobre el número de números primos menores que una cantidad dada.
En algunas ocasiones se define la función: con lo que La ecuación funcional también cumple el siguiente límite asintótico: El valor de la función zeta para los números pares negativos es 0 (viendo la ecuación funcional es evidente), por lo que son llamados ceros triviales.
Aparte de los ceros triviales, la función también se anula en valores de s que están dentro del rango {s ∈ C: 0 < Re(s) < 1}, y que son llamados ceros no triviales, debido a que es más difícil demostrar la ubicación de esos ceros dentro del rango crítico.
La hipótesis de Riemann, considerado uno de los mayores problemas matemáticos abiertos en la actualidad, asegura que cualquier cero no trivial tiene que cumplir Re(s)=1/2, por lo tanto, todos los ceros están alineados en el plano complejo formando una recta, llamada recta crítica.
Como este tipo de funciones es bastante general, esta propiedad es bastante importante.
Una forma más simple es: De esta forma elegante se puede observar el polo simple en s=1 (denominador), los ceros triviales dados por el término de la función gamma (denominador), y los ceros no triviales, dados cuando s=ρ (numerador).
Una representación en forma de serie, convergente para todo número complejo s, excepto 1, fue conjeturada por Konrad Knopp y probada por Helmut Hasse en 1930: Aunque los matemáticos consideran que la función zeta tiene un interés principal en la «más pura» de las disciplinas matemáticas, la teoría de números, lo cierto es que también tiene aplicaciones en estadística y en física.
En algunos cálculos realizados en física, se debe evaluar la suma de los números enteros positivos.
Cuando se produce esta situación, hay normalmente un enfoque riguroso con un análisis en profundidad, así como un «atajo», usando la función zeta de Riemann.
Como ejemplo notable, la función zeta de Riemann aparece explícitamente en el cálculo del efecto Casimir.
