Polilogaritmo
definida por la siguiente serie: Esta no es, en general, una función elemental, aunque esté relacionada con la función logarítmica.
La definición dada arriba es válida para todo número complejo s y z tal que
Para obtener el polilogaritmo en el resto del plano complejo, hay que extender la definición mediante una continuación analítica.
se obtiene la relación de estas funciones con el logaritmo (
se denominan dilogaritmo (o función de Spence) y trilogaritmo respectivamente.
El nombre de la función proviene del hecho de que podría ser definida como integrales iteradas de la misma función: así, el dilogaritmo es una integral del logaritmo, el trilogaritmo del dilogaritmo y así continuamente.
Para valores enteros negativos de s, el polilogaritmo es una función racional.
El polilogaritmo no debe confundirse con las funciones polilogarítmicas ni con la función logaritmo integral, que tiene una notación similar.
En el caso en el que el parámetro s sea un entero, este estará representado por n (o -n cuando sea negativo).
es la rama principal del logaritmo complejo
Además, toda exponencialización se considerará univaluada:
Dependiendo del parámetro s, el polilogaritmo puede ser multivaluado.
y sea continua excepto en el eje positivo real, donde hay un corte en el intervalo
tal que el corte coloca a los puntos del eje real en el semiplano inferior de z. En término de
, la rama principal está definida para aquellos valores de
El hecho de que el polilogaritmo sea discontinuo en
Para z real y z ≥ 1, la parte imaginaria del polilogaritmo es: Si se atraviesa el corte, esto es, tomando un parámetro infinitesimal δ positivo y real, entonces se tiene: Las derivadas del polilogaritmo son: Para valores enteros de s, se tienen las siguientes relaciones explícitas: Para todos los valores negativos de s, se puede expresar el polilogaritmo como un cociente de polinomios en z, siendo por tanto funciones racionales.
Algunos valores de polilogaritmos para argumentos semienteros son: donde ζ es la función zeta de Riemann.
No se conocen fórmulas similares para mayores órdenes.
Esta ecuación proporciona la continuación analítica de la representación mediante series del polilogaritmo más allá del círculo de convergencia
que se cumple para todo x y
se obtiene la siguiente relación: Con las mismas condiciones sobre x que arriba, para valores enteros negativos del parámetro s, se tiene que, para todo
Una representación integral del dilogaritmo es: La identidad de Abel para el dilogaritmo está dada por Es inmediato que esta igualdad se cumple en los casos
la identidad se reduce a la fórmula de reflexión de Euler: donde se ha usado
, la identidad de Abel se transforma así: llamándose a esta la Identidad Pentagonal.
Nota histórica:Don Zagier remarcó que "El dilogaritmo es la única función matemática con sentido del humor."
Leonard Lewin descubrió una generalización de varias relaciones clásicas para valores especiales del polilogaritmo, estas son las escaleras de polilogaritmos.
Entonces, dos ejemplos de estas relaciones son los siguientes: Estas relaciones aparecen de forma natural en teoría K y Geometría algebraica.
) no es visible en la hoja principal del polilogaritmo.
Este sólo se hace visible cuando el polilogaritmo es extendido mediante continuación analítica a sus otras hojas.
