Función zeta de Hurwitz
Se la define formalmente para un argumento complejo s y un argumento real q como Esta sucesión es convergente para q > 0 y Re(s) > 1.
Notar que en realidad no hay nada que evite que la variable q sea compleja (en cuyo caso, Re(q)>0 es una restricción natural, aunque no sea una condición necesaria).
La función zeta de Hurwitz puede tener una extensión analítica a una función meromórfica definida para todos los números complejos s con s ≠ 1.
En 1930 Helmut Hasse encontró la representación en forma de sucesión convergente definida por q > −1 y para todo número complejo s ≠ 1:[1] Esta sucesión converge uniformemente en un subconjunto compacto del plano s a una función entera.
La suma interna debe ser comprendida como la n-ésima diferencia progresiva de
; o sea, donde Δ es el operador diferencia progresiva.
La fórmula de Hurwitz establece el siguiente teorema: con es una representación del zeta que es válido para
