Función gamma

es la letra griega gamma en mayúscula), es una aplicación que extiende el concepto de factorial a los números reales y complejos.es positiva, entonces la integral converge absolutamente; esta integral puede ser extendida a todo el plano complejo, excepto a los enteros negativos y al cero.entonces lo que nos muestra la relación de esta función con el factorial.La función gamma aparece en varias funciones de distribución de probabilidad, por lo que es bastante usada tanto en probabilidad y estadística como en combinatoria.Si la parte real del número complejoUtilizando integración por partes se obtiene la siguiente propiedad: Podemos obtenerdesde su definición inicial a todo el plano complejo (exceptuando los puntos en los cuales es singular) por continuación analítica.Sin embargo, podemos obtener una extensión de la función factorial para no enteros exigiendo que esta relación siga siendo válida para un número complejo arbitrariose obtiene Este producto infinito converge para todos los números complejoshacia atrás lleva a una división entre cero para el valor, para la función gamma la relación precedente da lugar a la definición: válida para enteros no negativos.La definición de la función gamma debida a Weierstrass es válida para todos los números complejosexcepto para valores enteros no positivos donde, este producto es si la parte real es un entero, esto esVarios límites útiles para aproximaciones asintóticas: Quizá el valor más conocido de la función gamma con argumento no entero es: La cual puede obtenerse haciendoEn general, para valores no negativos de, la derivada de la función gamma puede calcularse como sigue dondeEl residuo en cada polo es: El teorema de Bohr-Mollerup dice que, entre todas las funciones que generalizan el factorial de los números naturales a los reales, solo la función gamma es logarítmicamente convexa, esto es, el logaritmo natural de la función gamma es una función convexa.: que por un largo tiempo se le atribuyó a Ernst Kummer quien lo demostró en 1847.Sin embargo, se descubrió que Carl Johan Malmsten la demostró por primera vez en 1842.En 1840, Joseph Ludwig Raabe demostró que para valoresobtenemos Gauss introdujo una notación alternativa de la función gamma denominada función Pi, que en términos de la función gamma es: Así, la relación de la función Pi con el factorial es más natural que en el caso de la función gamma pues para cualquier entero no negativoLa fórmula de la reflexión toma la siguiente forma: Dondees la función sinc normalizada, mientras que el teorema de la multiplicación toma la forma: En ocasiones se encuentra la siguiente definición dondees una función entera definida para todo número complejo, pues no tiene polos.Para argumentos que sean múltiplos enteros de 1/24, la función gamma puede ser evaluada rápidamente usando iteraciones de medias aritmético geométricas (véase Valores de la función gamma).Debido a que tanto la función gamma como el factorial crecen muy rápidamente para argumentos moderadamente grandes, muchos programas de computación incluyen funciones que devuelven el logaritmo de la función gamma.Este crece más lentamente, y en cálculos combinatorios es muy útil, pues se pasa de multiplicar y dividir grandes valores a sumar o restar sus logaritmos.(donde n es un número natural) se puede ver de la siguiente manera: comopuede ser cualquier número donde gamma esté definido o se pueda definir mediante límites.