Media aritmético-geométrica

La media aritmético-geométrica M(x, y) de dos números reales positivos x e y se define de la siguiente forma:

Ambas sucesiones convergen al mismo número, denominado media aritmético-geométrica M(x, y) de x e y.

Origen Algebraico de la Media Aritmético - Geométrica https://web.archive.org/web/20160818061731/http://www.cerano.com.mx/cerano_v2/media-aritmetico-geometrica/ Se puede demostrar además que:

( x , y ) =

x + y

x − y

x + y

{\displaystyle M(x,y)={\frac {\pi }{4}}\cdot {\frac {x+y}{K\left({\frac {x-y}{x+y}}\right)}}}

donde K(x) es la integral elíptica completa de primera especie.

Otra identidad interesante en la que interviene la media aritmética geométrica es la siguiente:

( a , b )

d θ

d t

{\displaystyle {\frac {1}{M(a,b)}}={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta }{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}\theta +b^{2}\sin ^{2}\theta }}}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dt}{\sqrt {(a^{2}+t^{2})(b^{2}+t^{2})}}}}