Desigualdad de las medias aritmética y geométrica
En matemáticas, se conoce como desigualdad entre media aritmética y geométrica, o MA-MG, aquella desigualdad que establece que la media aritmética de un conjunto de números reales positivos es mayor o igual que la media geométrica del mismo conjunto, cumpliéndose únicamente la igualdad cuando todos los elementos del conjunto sean iguales.
La media aritmética de un conjunto de números reales
n
{\displaystyle {x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}}
es igual a la suma dividida por el número total de elementos,
{\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}.}
La media geométrica de un conjunto de reales no negativos
{\displaystyle {x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}\in \mathbb {R} ^{+}}
, es igual a la raíz enésima del producto de todos ellos:
n
n
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}.}
n
{\displaystyle {x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}\in \mathbb {R} ^{+}}
n
n
La igualdad se cumple si y sólo si
Para demostrar la desigualdad MA-MG, se desarrollará por una variante del método de inducción matemática, demostrando que la MA-MG es cierta para 2 elementos, luego generalizándolo para 2n elementos y demostrando que si es cierta para n es cierta para n-1 elementos (variante "adelante-atrás" según Augustin Louis Cauchy).
{\displaystyle {x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}\in \mathbb {R} ^{+}}
un conjunto de n elementos.
Procedemos a considerar el primer paso en que n=2:
Quedando así demostrado para n=2, luego se demuestra que si es cierta para n es cierta para 2n elementos.
Siguiendo la hipótesis,
Se sigue que,
Siendo esto igual a,
Quedando así demostrado que si es cierto para n elementos es cierto para 2n elementos.
Ahora procedemos a demostrar que si es cierta para n elementos es cierta para n-1 elementos, Sean
Se considera la desigualdad de todos los elementos mencionados,
Haciendo raíz n-1-ésima se sigue,
Quedando así demostrado por el método inductivo, la veracidad de la desigualdad MA-MG.
