Desigualdad matemática

En matemáticas, una desigualdad es una relación de orden que se da entre dos valores cuando estos son distintos (en caso de ser iguales, lo que se tiene es una igualdad).

[1]​ Si los valores en cuestión son elementos de un conjunto ordenado, como los enteros o los reales, entonces pueden ser comparados.

La relación a no mayor que b también puede representarse con a ≯ b, con el símbolo de «mayor que» cortado con una barra, «no».

Notar que, para las propiedades de transitividad, adición, sustracción, multiplicación y división, la propiedad también se mantiene si los símbolos de desigualdad estricta (< y >) son reemplazados por sus correspondientes símbolos de desigualdad no estricta (≤ y ≥).

Al aplicar una función monótona creciente, a ambos lados, la desigualdad se mantiene.

al aplicar la función exponencial a ambos miembros de la desigualdad, esta se mantiene.

Sin embargo, aplicar una función monotónicamente decreciente a ambos lados de una desigualdad significa que la relación de desigualdad se invertiría.

Si sólo una de estas condiciones es estricta, la desigualdad resultante no lo es.

Algunos ejemplos de esta regla son: (esto es cierto porque el logaritmo natural es una función estrictamente creciente).

Un orden parcial (no estricto) es una relación binaria ≤ sobre un conjunto P que es reflexiva, antisimétrica, y transitiva.

[8]​ Es decir, para todo a, b, y c en P, debe satisfacer las tres cláusulas siguientes: Un conjunto con un orden parcial se denomina conjunto parcialmente ordenado.

Otros axiomas que existen para otras definiciones de órdenes sobre un conjunto P incluyen: Si (F, +, ×) es un cuerpo y ≤ es un orden total sobre F, entonces (F, +, ×, ≤) es un cuerpo ordenado si y solo si: Los cuerpos (Q, +, ×, ≤) y (R, +, ×, ≤) son ejemplos comunes de cuerpo ordenado, pero ≤ no puede definirse en los complejos para hacer de (C, +, ×, ≤) un cuerpo ordenado.

Las desigualdades en sentido amplio ≤ y ≥ sobre los números reales son relaciones de orden total, mientras que las desigualdades estrictas < y > sobre los números reales son relaciones de orden estricto.

Obviamente, aplicando las leyes anteriores, puede sumarse o restarse el mismo número real a los tres términos, así como multiplicarlos o dividirlos todos por el mismo número (distinto de cero) invirtiendo las inecuaciones según su signo.

Esta notación se puede extender a cualquier número de términos: por ejemplo, a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an establece que ai ≤ ai+1 para i = 1, 2, ..., n−1.

Según la propiedad transitiva, esta condición es equivalente a ai ≤ aj para cualesquiera 1 ≤ i ≤ j ≤ n. Ocasionalmente, la notación encadenada se usa con inecuaciones en diferentes direcciones.

En ese caso el significado es la conjunción lógica de las desigualdades entre los términos adyacentes.

Por ejemplo: significa que a < b, b = c, y c ≤ d (y por transitividad: a < d).

Esta notación es utilizada en algunos lenguajes de programación tales como Python..[10]​ Se dice que una desigualdad es aguda si no puede ser relajada y seguir siendo válida en general.

Una desigualdad de potencia es una desigualdad que contiene términos de la forma ab, donde a y b son números reales positivos o expresiones variables.