Función beta

En matemáticas, la función beta,[1]​ también llamada integral de Euler de primer orden, es una función especial estrechamente relacionada con la función gamma y los coeficientes binomiales.

La función beta fue estudiada originalmente por Euler y Legendre.

No obstante, su nombre le fue dado por Jacques Binet.

La función beta es simétrica, esto es para toda

La función beta se relaciona con la función gamma mediante La función beta también está relacionada con los coeficientes binomiales.

entonces de la propiedad anterior se sigue que Para verificar que se cumple la identidad consideremos el producto de dos factoriales Haciendo el cambio de variables

se obtiene Dividiendo ambos lados de la igualdad entre

se obtiene el resultado deseado.

Tenemos que la derivada de la función beta pueden expresarse en términos de la función digamma y las función poligamma pues donde

La integral que define a la función beta puede ser escrita de distintas formas, incluyendo las siguientes donde en la última identidad

(Uno puede pasar de la primera identidad a la segunda haciendo el cambio de variable

La función beta puede ser escrita como una suma infinita como y como un producto infinito como Dado que

es un entero no negativo y queremos calcular Entonces podemos[2]​ Usando la segunda propiedad de la función beta, tenemos De manera que La función beta incompleta es una generalización de la función beta, se define como Para

La relación existente entre las dos funciones es como la que hay entre la función gamma y su generalización, la función gamma incompleta.

La función beta incompleta regularizada (o función beta regularizada para abreviar) está definida en términos de la función beta incompleta y de la función beta completa: La función beta regularizada es la función de distribución acumulada de la distribución beta y está relacionada con la función de distribución acumulada de una variable aleatoria

como La función beta puede extenderse a una función con más de dos argumentos como Esta función beta multivariada es usada en la distribución de Dirichlet.