Fórmula integral de Cauchy

En matemáticas, la fórmula integral de Cauchy es un resultado fundamental en análisis complejo.El nombre del teorema se puso en honor al matemático Augustin Louis Cauchy.La fórmula expresa el hecho de que una función holomorfa definida en un disco está completamente determinada por sus valores en la frontera del disco, y proporciona fórmulas para calcular todas las derivadas de una función holomorfa a partir de integrales.La fórmula de Cauchy muestra que, en el análisis complejo, "la diferenciación es equivalente a la integración": así, permite deducir que la diferenciación compleja, como la integración, se comporta bien bajo límites uniformes, un resultado que no se sostiene en el análisis real.el círculo orientado, en sentido antihorario, que forma la frontera decomo se sigue que las funciones holomorfas son analíticas, es decir, pueden ser expandidas como series de potencias, como se demuestra en la página Analiticidad de las funciones holomorfas.El círculo γ puede sustituirse por cualquier curva rectificable cerrada en U que tenga número de enrollamiento uno sobre a.Además, como para el teorema de la integral de Cauchy, basta con exigir que f sea holomorfa en la región abierta encerrada por la trayectoria y continua en su cierre.Por ejemplo, si ponemos la función f(z) = 1/z, definida para |z| = 1 en la fórmula de la integral de Cauchy, obtenemos cero para todos los puntos dentro del círculo.De hecho, dar sólo la parte real en la frontera de una función holomorfa es suficiente para determinar la función salvo que sea una constante imaginaria - sólo hay una parte imaginaria en la frontera que corresponde a la parte real dada, hasta la adición de una constante.Por otra parte, sobre cualquier círculo C de radiocentrado en a, podemos calcular la integral Haciendo tender el radio a cero, ε → 0, se obtiene la estimación deseada Sea y definamos C como el contorno definido por |z| = 2 (el círculo de radio 2).Para hallar la integral de g(z) a lo largo del contorno C, se deben conocer las singularidades de g(z).Por lo tanto, g tiene polos en z1 y z2 (tiene límite infinito en esos puntos).El módulo de estos puntos es menor que 2 y por lo tanto se encuentran dentro del contorno.Esta función es holomorfa en un entorno abierto de C1 (dado que el contorno su única singularidad, en z2).Se puede simplificar f1 obteniendo: y entonces Dado que el teorema integral de Cauchy establece que se puede evaluar la integral de la siguiente manera: Procediendo de manera similar para el otro contorno: y se calcula que La integral alrededor del contorno original C entonces es la suma de estas dos integrales (usando el teorema integral de Cauchy): También podríamos haberlo calculado de otra manera recurriendo a un truco elemental usando la descomposición en fracciones simples: La fórmula integral tiene amplias aplicaciones.Sin embargo, tales resultados no son válidos para clases más generales de funciones analíticas diferenciables o reales.La fórmula también se puede utilizar para derivar el Teorema del valor medio de Gauss, que establece que[2]​ En otras palabras, el valor medio de f sobre el círculo centrado en z con radio r es f(z).Esto se puede calcular directamente a través de una parametrización del círculo.Además, si en un conjunto abierto D, para algún φ ∈ C(D) (donde k ≥ 1), entonces f(ζ, ζ) está también en C (D) y satisface la ecuación: La primera conclusión es, sucintamente, que la convolución μ ∗ k(z) de una medida compactamente soportada con el núcleo de Cauchy es una función holomorfa fuera del soporte de μ.La comprensión de esta propiedad proviene del álgebra geométrica, donde se consideran objetos más allá de escalares y vectores (como bivectores planos y trivectores volumétricos), y una generalización propia del teorema de Stokes.