Rotacional

, que se reduce a un punto.

El resultado de este límite no es el rotacional completo (que es un vector), sino solo su componente según la dirección normal a

y orientada según la regla de la mano derecha.

Para obtener el rotacional completo deberán calcularse tres límites, considerando tres curvas situadas en planos perpendiculares.

Por ejemplo, el campo de velocidades de un fluido que circula por una tubería (conocido como perfil de Poiseuille) posee un rotacional no nulo en todas partes, salvo en el eje central, pese a que la corriente fluye en línea recta: La idea es que si colocamos una rueda de paletas infinitamente pequeña en el interior del campo vectorial, esta rueda girará, aunque el campo tenga siempre la misma dirección, debido a la diferente magnitud del campo a un lado y a otro de la rueda.

, que se obtiene calculando el rotacional de un campo

(siendo las fuentes escalares las que se obtienen mediante la divergencia).

Un campo cuyo rotacional es nulo en todos los puntos del espacio se denomina irrotacional o se dice que carece de fuentes vectoriales.

Y si está definido sobre un dominio simplemente conexo entonces dicho campo puede expresarse como el gradiente de una función escalar, o dicho de otra forma, el campo deriva de un potencial (es decir, es conservativo):

Partiendo de la definición mediante un límite, puede demostrarse que la expresión, en coordenadas cartesianas, del rotacional es

que se puede expresar de forma más concisa con ayuda del operador nabla como un producto vectorial, calculable mediante un determinante:

Debe tenerse muy presente que dicho determinante en realidad no es tal pues los elementos de la segunda fila no tienen argumento y por tanto carecen de sentido.

Además, dicho determinante solo puede desarrollarse por la primera fila.

En definitiva, la notación en forma de determinante sirve para recordar fácilmente la expresión del rotacional.

Usando la derivada exterior, el rotacional se escribe simplemente como:

Obsérvese que tomando la derivada exterior de un campo (co)vectorial no da lugar a otro campo vectorial, sino a una 2-forma o un campo de bivector, escrito correctamente como

Sin embargo, puesto que los bivectores generalmente se consideran menos intuitivos que los vectores ordinarios, el R³-dual se utiliza comúnmente en lugar de otro: esto es una operación quiral, produciendo un pseudovector que adquiere valores opuestos en conjuntos coordenados izquierdos y derechos.

Con lo que de modo compacto para las tres componentes se tiene

i , j , k = α , β , γ

Puede ser expresado de la siguiente forma, en coordenadas cartesianas: en esta identidad el Operador laplaciano de F se representa como ∇2F.

El rotacional del gradiente de cualquier campo escalar φ es siempre nulo Si φ es una función escalar y F es un vector de campo, entonces: Sea el campo vectorial:

que depende linealmente de x y y, que se muestra a continuación: Mediante inspección visual, se observa que el campo está girando.

Utilizando la Regla de la mano derecha el vector rotacional apuntará a la parte negativa del eje zeta (hacia dentro) y no contendrá componentes en el eje x o y. Calculando el rotacional: Que está en la parte negativa del eje z, como se esperaba.

En este caso, el rotacional es constante, independientemente de su posición.

La "cantidad" de rotación es la misma en todo punto del espacio.

La siguiente figura muestra el rotacional del campo vectorial en tres dimensiones.

Supongamos otro campo vectorial un poco más complejo: Su gráfica es: No se observa con facilidad que este campo sea rotacional, pero investigando un poco se puede observar que, por ejemplo, el campo es mayor en x=4 que en x=3.

Al igual que en el caso anterior, si pusiéramos de nuevo una rueda de palas en la zona derecha del gráfico, la «corriente» más fuerte a la derecha haría rotar a la rueda en el sentido de las agujas del reloj, lo cual corresponde a un rotacional en la dirección negativa del eje z. Por contra, en la parte izquierda del gráfico se observa que la corriente más fuerte esta hacia la izquierda por lo que las palas girarían en el sentido contrario a las agujas del reloj y el rotacional, en este caso, apuntaría hacia la parte positiva el eje z. Calculando el rotacional podemos comprobar las suposiciones realizadas.

Efectivamente, el rotacional apunta a la dirección positiva del eje z para x negativa y a la parte negativa del eje z para x positivo.

Obsérvese que el rotacional ya no es uniforme en todos los puntos: Obsérvese que el rotacional solamente depende de la coordenada x.