Coordenadas curvilíneas

Un ejemplo de superficie definida en coordenadas cartesianas en este espacio es un plano coordenado, de manera que cuando (z = 0), se define el plano (x-y).

Estas expresiones se vuelven válidas para cualquier sistema de coordenadas curvilíneo.

Si bien se podría describir el movimiento de una partícula en una caja rectangular usando coordenadas cartesianas, es más fácil describir el movimiento sobre una esfera con coordenadas esféricas.

Un punto P en el espacio 3-D (o su posición r) se puede definir usando coordenadas cartesianas (x, y, z) [escrito de manera equivalente (x1, x2, x3)], por

, donde ex, ey, ez son los vectores de la base canónica.

En general, no son direcciones fijas en el espacio, como ocurre con las coordenadas cartesianas simples y, por lo tanto, generalmente no existe una base global natural para las coordenadas curvilíneas.

Todas las bases asociadas con coordenadas curvilíneas son necesariamente locales.

Los vectores de la base que son iguales en todos los puntos son bases globales y solo pueden asociarse con sistemas de coordenadas lineales o afines.

Una discusión del caso general aparece más adelante en esta página.

En coordenadas curvilíneas ortogonales, dado que el cambio diferencial total en r es entonces los factores de escala son

Según la regla de la cadena, dq1 se puede expresar como: Si el desplazamiento dr es tal que dq2= dq3= 0, es decir, el vector de posición r se mueve una cantidad infinitesimal en el eje de coordenadas q2=const y q3=const, entonces: Dividiendo por dq1, y tomando el límite dq1 → 0: o equivalentemente: Ahora bien, si el desplazamiento dr es tal que dq1=dq3=0, es decir, el vector de posición r se mueve una cantidad infinitesimal según los eje de coordenadas q1=const y q3=const, entonces: Dividiendo por dq2 y tomando el límite dq2 → 0: o equivalentemente: Y así sucesivamente con los demás productos escalares.

El vector de la base local (no unitario) es b1 (anotado como h1 anteriormente, con la letra b reservada para los vectores unitarios) y está construido sobre el eje q1 que es tangente a esa línea de coordenadas en el punto P. El eje q1 y, por lo tanto, el vector b1 forman un ángulo

Sin embargo, este método para transformaciones de vectores de la base utilizando cosenos direccionales no es aplicable a coordenadas curvilíneas por las siguientes razones: Los ángulos que forman la línea q1 y ese eje con el eje x se vuelven más cercanos en valor cuanto más cerca se está del punto P y se vuelven exactamente iguales en P. Supóngase que el punto E esté ubicado muy cerca de P, tan cerca que la distancia PE es infinitamente pequeña.

Al mismo tiempo, la relación PD/PE (siendo PD la proyección de PE sobre el eje x) se vuelve casi exactamente igual a

Entonces Por lo tanto, los cosenos directores se pueden sustituir en transformaciones con relaciones más exactas entre intersecciones de coordenadas infinitamente pequeñas.

Es decir, esas relaciones son derivadas parciales de las coordenadas que pertenecen a un sistema con respecto a las coordenadas que pertenecen al otro sistema.

Entonces, un vector v en este espacio, con respecto a estas coordenadas alternativas y vectores de la base, se puede expandir como una combinación lineal en esta base (lo que simplemente significa multiplicar cada vector de la base ei por un número vi, es decir, realizar una multiplicación escalar): La suma vectorial que describe v en la nueva base se compone de diferentes vectores, aunque la suma en sí sigue siendo la misma.

Las componentes Sij se denominan componentes contravariantes; Si j son las componentes covariantes a derechas mixtas; Si j son las componentes covariantes a izquierdas mixtas; y Sij son las componentes covariantes del tensor de segundo orden, que están relacionadas por En cada punto, se puede construir un pequeño elemento lineal dx, por lo que el cuadrado de la longitud del elemento lineal es el producto escalar dx · dx y se llama métrica del espacio, dada por: La siguiente parte de la ecuación anterior es un tensor simétrico llamado tensor fundamental (o métrico) del espacio euclídeo en coordenadas curvilíneas.

En una base ortonormal orientada a la derecha, el tensor alterno de tercer orden se define como En una base curvilínea general, el mismo tensor se puede expresar como También se puede demostrar que donde la coma indica derivada parcial (véase cálculo tensorial).

Para expresar Gkij en términos de gij, Dado que usar estas equivalencias para reorganizar las relaciones anteriores permite obtener Esto implica que Otras relaciones que siguen son Es necesario realizar ajustes en el cálculo de integrales de curvas, superficies y volúmenes.

Para simplificar las expresiones resultantes el alcance de los párrafos siguientes se limita a tres dimensiones y coordenadas curvilíneas ortogonales.

Sin embargo, los mismos argumentos se aplican a espacios de n dimensiones.

Cuando el sistema de coordenadas no es ortogonal, hay algunos términos adicionales en las expresiones.

Todas las relaciones algebraicas entre los vectores de una base, como se analiza en la sección sobre álgebra tensorial, se aplican a la base natural y su recíproca en cada punto x. donde a es un vector constante arbitrario.

Por definición, si una partícula sobre la que no actúan fuerzas tiene su posición expresada en un sistema de coordenadas inercial, (x1, x2, x3,  t), entonces no tendrá aceleración en este sistema, y por lo tanto, (d2xj/dt2 = 0).

En otras palabras, los vectores de la base de las coordenadas pueden variar en el tiempo en posiciones fijas, o pueden variar con la posición en momentos fijos, o ambas cosas.

Estrictamente hablando, estos términos representan componentes de la aceleración absoluta (en la mecánica clásica), pero también se puede optar por seguir considerando d2xj/dt2 como la aceleración (como si las coordenadas fueran inerciales) y tratar los términos adicionales como si fueran fuerzas, en cuyo caso se llaman fuerzas ficticias.

[18]​[19]​[20]​ Como un ejemplo simple, considérese una partícula de masa m que se mueve en un círculo de radio r con velocidad angular w relativa a un sistema de coordenadas polares que gira con velocidad angular W. La ecuación radial del movimiento es mr” = Fr + mr(w + W)2.

Si se elige un sistema de coordenadas que gira a la velocidad de la partícula, entonces W=A y w=0, en cuyo caso la fuerza centrífuga es mrA2, mientras que si se elige un sistema de coordenadas estacionario se tiene que W = 0 y w = A, en cuyo caso la fuerza centrífuga es nuevamente mrA2.

Al describir el movimiento general, las fuerzas reales que actúan sobre una partícula a menudo se refieren al círculo osculador instantáneo tangente a la trayectoria del movimiento, y este círculo en el caso general no está centrado en una ubicación fija, por lo que la descomposición en componentes según la fuerza centrífuga y la fuerza de Coriolis cambia constantemente.