La notación vectorial y el álgebra lineal que se emplean actualmente para escribir estas fórmulas aún no estaban disponibles en el momento de su descubrimiento.formada por los siguientes vectores: Las fórmulas de Frenet-Serret son: donde d/ds denota la derivada con respecto al parámetro longitud del arco, κ es la curvatura y τ es la torsión de la curva, dos magnitudes escalares.Más formalmente, se requiere que el vector de velocidad r'(s) y el vector de aceleración r''(s) no sean proporcionales.para todo s), ya que cualquier parametrización de la curva da la misma curvatura en cada punto., y que las primeras n derivadas de r son linealmente independientes.Los vectores restantes en el n-edro (el binormal, trinormal, etc.) se definen de manera similar: El último vector del sistema se define como el producto vectorial de los primerosvectores: Las siguientes funciones reales χi(s) se denominan curvaturas generalizadas: Las fórmulas de Frenet-Serret, expresadas en lenguaje matricial, son Nótese que la convención usada al definir las curvaturas y el sistema de Frenet en dimensión n no es universal.simultáneamente, y este cambio de signo hace que el sistema quede orientado positivamente.Como se definió anteriormente, el sistema hereda su orientación del jet dePor lo tanto, este sistema de coordenadas siempre es no inercial.Más conretamente, supongamos que el observador lleva consigo un trompo (inercial) (o un giroscopio) a lo largo de la curva.Si, por el contrario, el eje de la peonza apunta en la dirección del binormal, entonces se observa que gira con velocidad angular -κ.Esto se visualiza fácilmente en el caso de que la curvatura sea una constante positiva y la torsión desaparezca.En el caso límite cuando la curvatura desaparece, la normal para el observador sufre una precesión sobre el vector tangente y, de manera similar, el trompo girará en la dirección opuesta a esta precesión.(Aquí 2πh es la altura de un solo giro del slinky y r el radio).Por otro lado, si aplicamos una rotación M a la curva, entonces el triedro TNB también gira.Por lo tanto, sus entradas κ y τ son invariantes de la curva bajo movimientos rígidos.El recíproco también es cierto: dos curvas cualesquiera que tengan las mismas funciones curvatura y torsión deben ser congruentes.En particular, la curvatura y la torsión son un conjunto completo de invariantes para las curvas en tres dimensiones.Sin embargo, puede ser incómodo trabajar con ella en la práctica, por lo que conviene obtener las fórmulas de Frenet en una parametrización arbitraria.Sea r(t) una curva diferenciable, no necesariamente parametrizada por la longitud del arco.Este procedimiento también se generaliza para producir n-edros de Frenet.En términos del parámetro t, las fórmulas de Frenet-Serret cargan con un factor adicional ||r '(t)|| por la regla de la cadena : Se pueden calcular expresiones explícitas para la curvatura y la torsión:
Una curva alabeada; los vectores
T
,
N
y
B
; y el plano osculador atravesado por
T
y
N
Los vectores
T
y
N
en dos puntos de una curva plana, una versión desplazada del segundo diedro (punteado) y el cambio en
T
, δ
T
. Si δs es la distancia entre los puntos, en el límite
apuntará en la dirección
N
y su magnitud —la curvatura— describe la velocidad de rotación del diedro.
El triedro de Frenet-Serret moviéndose a lo largo de una
hélice
. La
T
está representada por la flecha azul, la
N
por la flecha roja, y la
B
por la flecha negra.
El triedro de Frenet-Serret moviéndose a lo largo de una
hélice
en el espacio
Un trompo cuyo eje está situado a lo largo del binormal gira con velocidad angular κ. Si el eje está a lo largo de la tangente, se observa que gira con velocidad angular τ .
Dos hélices (slinkies) en el espacio. (a) Una hélice más compacta con mayor curvatura y menor torsión. (b) Una hélice estirada con una torsión ligeramente mayor pero una curvatura menor.
Una cinta definida por una curva de torsión constante y una curvatura muy oscilante. La parametrización por la longitud de arco de la curva se definió mediante la integración de las ecuaciones de Frenet-Serret.
