Teorema de Taylor
En cálculo diferencial, el teorema de Taylor, recibe su nombre del matemático británico, Brook Taylor, quien lo enunció con mayor generalidad en 1712, aunque previamente James Gregory lo había descubierto en 1671.
Además el teorema permite acotar el error obtenido mediante dicha estimación.
El polinomio de Taylor es el único polinomio que «mejor aproxima la función en forma asintótica», en el sentido de que si existe una función
que se mencionan a continuación: Forma de valor medio del resto.
Esta versión generaliza las formas de Lagrange y Cauchy del resto, que son tomadas como casos especiales, y se demuestran usando el teorema del valor medio de Cauchy.
Sin embargo, se mantiene el concepto que provee la integral de Riemann donde la derivada
Además existe una variación del teorema de Taylor para funciones con múltiples variables.
Este ejemplo necesita que se conozcan las siguientes propiedades de la función exponencial: (*)
para deducir que simplemente maximizando el numerador y minimizando el denominador.
vemos que así se alcanza la precisión requerida, donde (ver factorial o calcular manualmente los valores 9!=362 880 y 10!=3 628 800).
Como conclusión, el teorema de Taylor permite la aproximación Luego, esta aproximación nos da la expresión decimal e ≈ 2,71828, correcta hasta cinco dígitos decimales.
Claramente, el denominador también satisface dicha condición, y adicionalmente, no se anula a menos que
, y la función que se define como Entonces, por el teorema del valor medio de Cauchy, para algún
y reorganizando los términos para hallar que Esta es la forma del término que mencionamos como «resto», después enunciamos el teorema de Taylor con el resto bajo la forma del valor medio.
Usando este método también se puede recurrir a la forma integral del resto haciendo pero los requerimientos de
necesitados para usar el teorema del valor medio son más fuertes, si se tiene el objetivo de probar el caso en que
Esta misma demostración se aplica para la integral de Riemann teniendo en cuenta que
, y esto permite llegar al mismo resultado que cuando se utilizó el teorema del valor medio.
El teorema fundamental del cálculo dice que A partir de aquí se usa la integración por partes y se usa una vez más el teorema fundamental del cálculo para ver que que es exactamente el teorema de Taylor con resto en la forma integral para el caso
Para demostrar el teorema de Taylor para el caso multidimensional, considérese un función
o campo escalar, que suponemos continuo y, para simplificar lo expuesto (aunque una generalización es trivial), de clase
Ahora, derivando sucesivas veces, encontramos que podemos poner de forma muy cómoda:
Ahora, empleando el teorema de Taylor para una variable real, expandimos
Obsérvese que el primer término aparece el gradiente y en el segundo la matriz hessiana, pero escrito con esta notación particular que resulta más cómoda y compacta.
La expresión obtenida es equivalente a la expresada más arriba mediante la notación multiíndice.
[11] El concepto principal detrás del FCS es la caracterización de los elementos del cálculo fraccional utilizando conjuntos debido a la gran cantidad de operadores fraccionales disponibles.
[16][17][18] El cálculo fraccional, una rama de las matemáticas que trata con derivadas de orden no entero, surgió casi simultáneamente con el cálculo tradicional.
En ese momento, Leibniz no pudo proporcionar una interpretación física o geométrica para esta pregunta, por lo que simplemente respondió a L'Hopital en una carta que «... es una aparente paradoja de la cual, algún día, se derivarán consecuencias útiles».
El nombre «cálculo fraccional» se origina a partir de una pregunta histórica, ya que esta rama del análisis matemático estudia derivadas e integrales de un cierto orden
En consecuencia, cuando no es necesario especificar explícitamente la forma de una derivada fraccional, típicamente se denota de la siguiente manera: Los operadores fraccionales tienen varias representaciones, pero una de sus propiedades fundamentales es que recuperan los resultados del cálculo tradicional a medida que
