En matemática, la matriz hessiana de un campo escalar
que tiene como entradas las derivadas parciales de segundo orden.
Esta matriz debe su nombre al matemático alemán Ludwig Otto Hesse y fue introducida por James Joseph Sylvester.
un campo escalar cuyas derivadas parciales de segundo orden existen.
definida como: El determinante de la matriz Hessiana es conocido como determinante Hessiano.
, entonces la matriz hessiana está bien definida, y en virtud del teorema de Clairaut (o teorema de Schwarz), es una matriz simétrica.
: Se verá a continuación cómo hallar los puntos críticos (máximos, mínimos y puntos de inflexión -o silla o de ensilladura) de una función
estudiando los autovalores de su matriz hessiana.
un campo escalar con derivadas parciales segundas continuas Dijf en una
-bola B(a), y designemos con
la matriz hessiana en el punto estacionario a.
El caso particular en el que la función a evaluar grafica una superficie en
z = f ( x , y )
y tiene segundas derivadas continuas, se pueden estudiar los puntos críticos evaluando la matriz hessiana en ellos y luego utilizando el criterio de determinación de extremos.
) entonces: - Si el determinante de la matriz hessiana evaluado en el punto
- Si el determinante de la matriz hessiana evaluado en el punto
- Si el determinante de la matriz hessiana evaluado en el punto
- Si el determinante de la matriz hessiana evaluado en el punto
es igual a 0, |H|=0, el criterio no concluye resultado alguno.
La matriz hessiana orlada es una variante de la matriz hessiana utilizada en problemas de optimización condicionada.
, la matriz hessiana orlada de la función lagrangiana
asociada al problema de extremos condicionados es:
columnas bordeando por abajo y por la derecha.
El determinante de sus principales menores se utiliza como criterio para determinar si un punto crítico de una función es un mínimo, máximo, punto silla o no determinado (extremos condicionados).
[1] El concepto de matriz hessiana puede generalizarse a espacios de dimensión infinita, concretamente a aplicaciones definidas sobre espacios vectoriales normados.
Si una aplicación (o funcional) está definida es diferenciable en el sentido de Fréchet y su diferencial jacobiana también es diferenciable en el sentido de Fréchet puede definirse una forma bilineal continua (y por tanto acotada) sobre el espacio normado que generaliza la matriz hessiana.
Se dice que una aplicación
es diferenciable si existe una aplicación lineal continua
{\displaystyle L_{a}\in {\mathcal {L}}(X,Y)}
es a su vez otro espacio vectorial normado con la norma: La segunda derivadas cuando existe es: La forma bilineal hessiana viene dada por: