Punto de silla

Un punto de silla o punto de ensilladura es el punto sobre una superficie en el que la pendiente es cero pero no se trata de un extremo local (máximo o mínimo).

El nombre proviene de que en el ejemplo prototípico la superficie en torno al punto de silla se parece a una silla de montar a caballo.

Un ejemplo de punto de silla es un punto crítico donde la elevación es máxima en una dirección y mínima en la dirección perpendicular.

Esto ocurre, por ejemplo, con el punto

Sin embargo, no todos los puntos de silla son de este tipo.

tiene un punto de silla en (0,0), pero no tiene máximo local en ninguna dirección por el origen.

Consideremos una función diferenciable de

, si se cumple: El ejemplo clásico es la llamada silla de montar, o Paraboloide hiperbólico, que se obtiene a partir de la función

Este se anula solamente en el origen

Es decir que la función tiene un único punto crítico.

Veamos que este es un punto de silla, usando la definición anterior.

Los valores de la función en el eje

Por otro lado, los valores de la función en el eje

Por lo tanto, en cualquier bola centrada en el origen, existe al menos un punto de la bola donde la función es positiva y otro donde es negativa.

Notar que, si restringimos la función

, se obtiene la función de una variable

tiene un mínimo local en la dirección del eje x.

En forma similar, al restringir

, se observa que esta tiene un máximo local en la dirección del eje

no tiene mínimo ni máximo local en

Por lo tanto, se concluye que el punto crítico

Sin embargo, como se dijo al inicio, no todos los puntos de silla son de esta forma, con un máximo en una dirección y un mínimo en otra.

En consonancia con su definición, el punto de ensilladura es el más elevado que permite conectar los dos dominios altos adyacentes y es también el paso más bajo que comunica los dos dominios adyacentes que quedan por debajo.

Otra propiedad de estos puntos es que por ellos pasa la curva de nivel más profunda que conecta dos dominios elevados, que determina la elevación a la que hay que descender para caminar de una montaña a otra.

Por un punto de ensilladura pasa también el camino más bajo que cruza entre dos máximos de la superficie (dos montañas).

Al describir el relieve terrestre se usan dos términos equivalentes: collado de montaña (equivalente continental del umbral) y umbral submarino.

Un ejemplo es el Umbral de Camarinal, que separa el Océano Atlántico del Mar Mediterráneo.