Gradiente

En análisis matemático, particularmente en cálculo vectorial, el gradiente o vector gradiente[1]​ de un campo escalar

en la dirección de dicho vector gradiente.

El gradiente se representa con el operador diferencial nabla

seguido de la función (atención a no confundir el gradiente con la divergencia; esta última se denota con un punto de producto escalar entre el operador nabla y el campo,

[2]​ En matemáticas, el ‘gradiente’ es una generalización multivariable de la derivada.

Mientras que una derivada se puede definir solo en funciones de una sola variable, para funciones de varias variables, el gradiente toma su lugar.

Al igual que la derivada, el gradiente representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función.

Más precisamente, el gradiente apunta a los puntos de la gráfica a los cuales la gráfica tiene un mayor incremento.

La magnitud del gradiente es la pendiente de la gráfica en esa dirección.

Los componentes del gradiente en coordenadas son los coeficientes de las variables presentes en la ecuación del espacio tangente al gráfico.

Se toma como campo escalar el que se asigna a cada punto del espacio una presión P (campo escalar de 3 variables), entonces el vector gradiente en un punto genérico del espacio indicará la dirección en la cual la presión cambiará más rápidamente.

En este caso el vector gradiente en un punto genérico indicará la dirección de máxima inclinación de la montaña.

Nótese que el vector gradiente será perpendicular a las líneas de contorno (líneas «equiescalares») del mapa.

cuyas componentes son las derivadas parciales del campo escalar, esto es: Esta definición se basa en que el gradiente permite calcular fácilmente las derivadas direccionales.

Definiendo en primer lugar la derivada direccional según un vector: Una forma equivalente de definir el gradiente es como el único vector que, multiplicado por el vector unitario, da la derivada direccional del campo escalar: Con la definición anterior, el gradiente está caracterizado de forma unívoca.

El gradiente se expresa alternativamente mediante el uso del operador nabla: De forma geométrica, el gradiente es un vector normal (perpendicular) a la curva de nivel en el punto que se está estudiando, llámese (x,y), (x,y,z), (tiempo, temperatura), etc. Algunos ejemplos son: El gradiente verifica que:

(2) La derivada direccional en la dirección de un vector unitario

viene dado por la derivada direccional en esa dirección, y dado que en un punto estacionario tal incremento ha de ser nulo para cualquier dirección el gradiente ha de anularse.

(5) La componente k-ésima del rotacional puede calcularse empleando el símbolo de Levi-Civita y si las derivadas cruzadas son iguales se tiene: A partir de su definición puede demostrarse su expresión en diferentes sistemas de coordenadas.

En coordenadas cartesianas, su expresión es simplemente En un sistema de coordenadas ortogonales, el gradiente requiere los factores de escala, mediante la expresión Para coordenadas cilíndricas (

un tensor que da el diferencial del campo al realizar un desplazamiento: Fijada una base vectorial, este tensor podrá representarse por una matriz 3x3, que en coordenadas cartesianas está formada por las tres derivadas parciales de las tres componentes del campo vectorial.

El gradiente de deformación estará bien definido solo si el límite anterior existe para todo

y es una función continua de dicho vector.

Técnicamente el gradiente de deformación no es otra cosa que la aplicación lineal de la que la matriz jacobiana es su expresión explícita en coordenadas.

caracteriza la mejor aproximación lineal de la función en un punto particular

La interpretación física del gradiente es la siguiente: mide la rapidez de variación de una magnitud física al desplazarse una cierta distancia.

Un gradiente alto significa que de un punto a otro cercano la magnitud puede presentar variaciones importantes (aquí se entiende por gradiente alto o grande uno tal que su módulo es grande).

Un gradiente de una magnitud pequeño o nulo implica que dicha magnitud apenas varía de un punto a otro.

El gradiente de una magnitud física posee innumerables aplicaciones en física, especialmente en electromagnetismo y mecánica de fluidos.

En particular, existen muchos campos vectoriales que puede escribirse como el gradiente de un potencial escalar.