Cálculo tensorial
La palabra tensor proviene del latín tensus, participio pasado de tendere 'estirar, extender'.
Hay también cantidades tipo vector, por ejemplo fuerza, que requieren una lista de números para su descripción.
Finalmente, las cantidades tales como formas cuadráticas requieren de una matriz para su representación.
No todas las relaciones en la naturaleza son lineales, pero la mayoría es diferenciable y así se pueden aproximar localmente con sumas de funciones multilineales.
La aceleración en general no estará en la misma dirección que la fuerza, debido a la forma particular del cuerpo de la nave.
Para definir un tensor es necesario partir de un espacio físico o variedad diferenciable que define cuál es el espacio vectorial base V sobre el que se construirán tensores de diferente tipo y orden.
En este enfoque los números reales que aparecen en dichas "matrices" son los componentes del tensor en una base concreta.
Esta idea puede ser generalizada aún más a los campos tensoriales, donde los elementos del tensor son funciones, o incluso diferenciales.
Sus propiedades bien conocidas se pueden derivar de sus definiciones, como funciones lineales o incluso más generales; y las reglas para las manipulaciones de tensores se presentan como extensión del álgebra lineal al álgebra multilineal.
A los tensores se los puede clasificar por su orden, es decir el número de componentes que requiere para ser descrito.
Como se dijo anteriormente, un escalar es una cantidad que requiere solo un número real en cualquier sistema de coordenadas para ser descrito.
Un escalar es un tensor de orden cero porque requiere un solo número para ser descrito:
En ese momento, Leibniz no pudo proporcionar una interpretación física o geométrica para esta pregunta, por lo que simplemente respondió a L'Hopital en una carta que «... es una aparente paradoja de la cual, algún día, se derivarán consecuencias útiles».
El conjunto de todos los tensores p-veces covariantes y q-veces contravariantes definidos sobre el espacio vectorial V se denota como
; así su suma y resta estaría dada por: Este espacio vectorial es de dimensión
Esta operación se denomina usualmente ley de subir o bajar índices.
Por tanto para emplear la subida y bajada de índices es necesario usar el tensor métrico
Estas operaciones resultan muy útiles en la teoría general de la relatividad donde cualquier magnitud física puede ser representada por tensores covariantes o contravariantes indistintamente, y sin alterar el significado físico, según las necesidades del problema planteado.
La contracción se utiliza usualmente con el producto tensorial para contraer el índice de cada tensor.
Teniendo presente la anterior operación de vectores sobre funciones y dada la aplicación diferenciable
Para resolver esos problemas se define una conexión que permita relacionar el espacio tangente en puntos diferentes de la variedad (a diferencia del caso euclídeo si la variedad es curva la orientación del espacio tangente), considerado como subconjunto de
Así, si X es un campo diferenciable de vectores, se define la derivada de Lie con respecto a X como la única derivación tensorial tal que:[19] Dada una n-forma (tensor n-covariante totalmente antisimétrico):
Es interesante notar que la diferenciación exterior generaliza las operaciones de gradiente, rotacional o divergencia, así cuando se considera el cálculo tensorial sobre
) y es un objeto tensorial que se utiliza para subir o bajar el índice de otro objeto tensorial mediante una operación llamada contracción, permitiendo así convertir un tensor covariante en un tensor contravariante y viceversa.
Para encontrar J, se toma el "gradiente barrado", es decir, la derivada parcial con respecto a
Esto es posible gracias a la comprensión del tensor métrico que utiliza el cálculo tensorial.
Si una igualdad tensorial tiene n índices libres, y si la dimensionalidad del espacio vectorial subyacente es m, la igualdad representa mn ecuaciones: cada índice toma cada valor de un conjunto específico de valores.
Los paréntesis ( ) colocados alrededor de múltiples índices, denotan la parte simetrizada del tensor.
Las coordenadas normalmente se denotan por xμ, pero en general no forman los componentes de un vector.
En una base coordenada, se puede expresar como la antisimetrización de las derivadas parciales de los componentes tensoriales:[4]: 232–233 Esta derivada no está definida sobre ningún campo tensorial con índices contravariantes o que no sea totalmente antisimétrico.
