Este artículo trata del concepto matemático.
Existen distintas definiciones utilizadas en la teoría de grupos y en la teoría de anillos.
El conmutador de dos elementos, g y h, de un grupo G, es el elemento [g, h] = g−1h−1gh Este elemento es igual a la identidad del grupo si y sólo si g y h conmutan (a partir de la definición gh = hg [g, h], siendo [g, h] igual a la identidad si y sólo si gh = hg).
El conjunto de todos los conmutadores de un grupo no es en general cerrado bajo la operación de grupo, pero el subgrupo de G generado por todos los conmutadores es cerrado y se denomina grupo derivado o subgrupo conmutador de G. Los conmutadores se utilizan para definir grupos nilpotentes y solubles y el mayor grupo abeliano cociente.
La definición del conmutador anterior se utiliza a lo largo de este artículo, pero muchos otros teóricos de grupos definen el conmutador como: [g, h] = ghg−1h−1.
[3] La expresión ax denota el conjugado de a por x, definido como x-1ax.
La identidad (5) también se conoce como identidad Hall-Witt, en honor a Philip Hall y Ernst Witt.
Para estos convenios se aplican identidades similares.
Se utilizan muchas identidades que son verdaderas módulo a ciertos subgrupos.
Por ejemplo, en cualquier grupo, las segundas potencias se comportan bien:
A menudo, los anillos no admiten la división.
En álgebra lineal, si dos endomorfismos de un espacio están representados por matrices conmutativas en términos de una base, entonces también lo están en términos de todas las bases.
Utilizando el conmutador como un soporte de Lie, toda álgebra asociativa puede convertirse en un álgebra de Lie.
El anticomutador de dos elementos a y b de un anillo o álgebra asociativa se define por:
se utiliza para denotar el anticonmutador, mientras que
El conmutador de dos operadores que actúan sobre un espacio de Hilbert es un concepto central de la mecánica cuántica, ya que cuantifica hasta qué punto los dos observables descritos por estos operadores pueden medirse simultáneamente.
El principio de incertidumbre es, en última instancia, un teorema sobre dichos conmutadores, en virtud de la relación Robertson-Schrödinger.
El conmutador tiene las siguientes propiedades: Si A es un elemento fijo de un anillo R, la identidad (1) puede interpretarse como una regla de Leibniz para el mapa
En otras palabras, el mapa adA define una derivación en el anillo R. Las identidades (2), (3) representan reglas de Leibniz para más de dos factores, y son válidas para cualquier derivación.
Las identidades (4)-(6) también pueden interpretarse como reglas de Leibniz.
[6] Por ejemplo: Consideremos un anillo o álgebra en el que la exponencial
En tal anillo, el lema de Hadamard aplicado a conmutadores anidados da:
(Para la última expresión, véase Derivación adjunta más adelante.)
Cuando se trata de álgebras graduadas, el conmutador se suele sustituir por el conmutador graduado, definido en componentes homogéneas como:
Especialmente si se trata de conmutadores múltiples en un anillo R, resulta útil otra notación.
Este mapeo es una derivación sobre el anillo R:
Componiendo estas correspondencias, obtenemos, por ejemplo
es un homomorfismo del álgebra de Lie que preserva el conmutador:
En cambio, no siempre es un homomorfismo de anillo: normalmente es
y aplicando ambos lados a una función g, la identidad se convierte en la regla de Leibniz habitual para la derivada n