Regla del producto (cálculo)

En cálculo, la regla del producto o regla de Leibniz para la derivación de un producto es una fórmula usada para hallar la derivada del producto de dos o más funciones o usando la notación de Leibniz: La regla puede ser extendida o generalizada a situaciones en las que por ejemplo, se incluye el producto de más de dos funciones.

Se puede demostrar la regla usando las características del límite y la definición de la derivada como el límite del cociente de la diferencia.

continuas y diferenciables en la variable

entonces Como se tiene Distribuyendo ahora el límite entre la suma y los productos (ver propiedades), obtenemos que Como

se tiene y por la definición de la derivada, y la diferenciabilidad de

se tiene también que Por lo tanto Suponiendo que se quiere derivar: Usando la regla del producto, se obtiene la derivada: La regla del producto puede ser generalizada a productos de más de dos factores, por ejemplo, para tres factores tenemos Para una colección de funciones

tenemos La derivada logarítmica ayuda a demostrar la expresión anterior sin necesidad de recurrir a alguna recursión.

También puede generalizarse a la regla general de Leibniz para la

-ésima derivada del producto de dos factores.

-ésima derivada del producto

f ⋅ g

n k

{\displaystyle {n \choose k}}

es el coeficiente binomial, y se sigue el convenio

Esta fórmula puede ser demostrada a través de la regla del producto e inducción.

Más aún, la

-ésima derivada de un número arbitrario de factores Supóngase que

son espacios de Banach y

es un operador bi lineal continuo, entonces

es diferenciable y su derivada en el punto

es el mapeo lineal

{\displaystyle D_{(x,y)}B:X\times Y\to Z}

dado por La regla del producto se extiende al producto escalar y producto vectorial de funciones vectoriales como Para producto escalar:

{\displaystyle (\mathbf {f} \cdot \mathbf {g} )'=\mathbf {f} '\cdot \mathbf {g} +\mathbf {f} \cdot \mathbf {g} '}

{\displaystyle (\mathbf {f} \times \mathbf {g} )'=\mathbf {f} '\times \mathbf {g} +\mathbf {f} \times \mathbf {g} '}