Límite de una función
Intuitivamente, el hecho de que una función f alcance un límite L en un punto c significa que, tomando puntos suficientemente próximos a c, el valor de f puede ser tan cercano a L como se desee.
Por esta razón, se da una definición formal de límite que precisa estos conceptos.
Entonces se dice: El límite de una función f, cuando x tiende a c es L si y solo si para todo
tal que para todo número real x en el dominio de la función, si
El cálculo de este límite surge por simple sustitución, esto se debe a que la función afín es continua.
cualquiera, si consideramos sólo puntos a distancia menor que un tercio del error (
Como este error es arbitrario, lo anterior quiere decir que las imágenes de puntos cercanos a
Para demostrar la anterior afirmación, es necesario hacer uso del hecho de que cada intervalo contiene tanto números racionales como irracionales.
entonces si xn converge a c, existe un número natural N0 tal que
Por lo tanto para estos δ existe al menos una sucesión tn = xδ que cumple
Esto contradice la hipótesis, y la contradicción provino de suponer que
Si en vez de una función escalar se toma el campo vectorial
y sea L = (A,B) un vector en R2, bajo estas condiciones se cumple que
se asume que el límite del campo vectorial f es igual a L. Por definición, para cada número real positivo ε arbitrario, existe un disco plano de radio δ, de manera tal que se cumple la implicación
Luego, para todo ε, existe un δ, de manera tal que
[6] La definición de límite puede generalizarse a cualquier función definida entre dos espacios métricos.
Sea la función f definida entre los dos espacios métricos formados por cada par conjunto-métrica,
y un punto x del dominio D de esta función, aproximándose a c, pero tomando solo valores más grandes que él.
Los límites laterales permiten definir la continuidad y derivabilidad de una función en un punto.
Esto significa que la variable x toma valores arbitrariamente grandes, en magnitud.
Para esta definición tomaremos, como caso particular, dos «signos del infinito».
Definiremos entonces el límite de una función, cuando la variable independiente tiende a infinito, para cualquier signo.
tal que, para todo x en el dominio de f, se cumple la implicación
Si solo se toma uno de los casos, basta añadir la restricción correspondiene.
tal que, para todo punto x en el dominio de f, se cumple
Recurrimos al límite lateral ya que el logaritmo solo está definido para
Los conceptos definidos permiten introducir herramientas para el cálculo de límites.
Si f(x) y g(x) son funciones de variable real y k es un escalar, entonces, se cumplen las siguientes propiedades: Las propiedades generales permiten, junto con la definición, calcular límites indeterminados mediante transformaciones algebraicas.
Hay varios tipos de indeterminaciones, entre ellas las que se muestran en la tabla siguiente.
Otras formas indeterminadas requieren alguna manipulación algebraica, por lo general, establecer que el límite es igual a y, tomar el logaritmo natural en ambos miembros, y entonces aplicar la regla de l'Hôpital.
